Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{4}-x+1}{x^{4}+x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar (ou seja, calcular a derivada de) a função
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{4}-x+1}{x^{4}+x+1}}.
Informações dadas que vamos usar: a função é a quarta raiz da razão entre x^{4}-x+1 e x^{4}+x+1. Devemos, se possível, simplificar antes e/ou depois de derivar.

Passo 2

Reescrever a função em forma de potência facilita usar regras de derivação. Escrevemos
f(x)=\left(\frac{A(x)}{B(x)}\right)^{1/4},
onde definimos explicitamente
A(x)=x^{4}-x+1,\qquad B(x)=x^{4}+x+1.
Agora uma revisão rápida da regra que vamos usar primeiro (cadeia + potência): se g(u)=u^{\alpha} com \alpha constante e u=u(x), então
\frac{d}{dx}g(u(x))=\alpha\,u(x)^{\alpha-1}\cdot u'(x).
Isso significa, no nosso caso, que ao derivar u^{1/4} obtemos \tfrac{1}{4}u^{-3/4}u'. Aqui u(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia + potência ao nosso f(x) temos
f'(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{A(x)}{B(x)}\right)^{-3/4}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{A(x)}{B(x)}\right).
Portanto precisamos calcular a derivada da razão u(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}.

Passo 4

Relembrando a regra do quociente (quotient rule): se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} então
u'(x)=\frac{v'(x)\,w(x)-w'(x)\,v(x)}{[w(x)]^{2}}.
Aqui tomamos v(x)=A(x) e w(x)=B(x). Calculamos as derivadas simples:
A'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-x+1\bigr)=4x^{3}-1,
B'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+x+1\bigr)=4x^{3}+1.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{(4x^{3}-1)B-(4x^{3}+1)A}{B^{2}}.
Substituímos A=x^{4}-x+1 e B=x^{4}+x+1 e expandimos cuidadosamente cada termo. Primeiro expandimos (4x^{3}-1)B:
(4x^{3}-1)(x^{4}+x+1)=4x^{7}+4x^{4}+4x^{3}-x^{4}-x-1=4x^{7}+3x^{4}+4x^{3}-x-1.
Em seguida expandimos (4x^{3}+1)A:
(4x^{3}+1)(x^{4}-x+1)=4x^{7}-4x^{4}+4x^{3}+x^{4}-x+1=4x^{7}-3x^{4}+4x^{3}-x+1.

Passo 6

Fazendo a diferença conforme o numerador do quociente:
(4x^{3}-1)B-(4x^{3}+1)A=(4x^{7}+3x^{4}+4x^{3}-x-1)-(4x^{7}-3x^{4}+4x^{3}-x+1).
Cancelam-se muitos termos; sobrando
(4x^{3}-1)B-(4x^{3}+1)A=6x^{4}-2=2(3x^{4}-1).
Logo
\frac{d}{dx}\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{6x^{4}-2}{(x^{4}+x+1)^{2}}=\frac{2(3x^{4}-1)}{B^{2}}.

Passo 7

Voltemos à expressão da derivada de f:
f'(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{A}{B}\right)^{-3/4}\cdot\frac{2(3x^{4}-1)}{B^{2}}.
Agora simplificamos potências e fatores. Note que \left(\dfrac{A}{B}\right)^{-3/4}=\dfrac{B^{3/4}}{A^{3/4}}. Substituindo,
f'(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{B^{3/4}}{A^{3/4}}\cdot\frac{2(3x^{4}-1)}{B^{2}}.

Passo 8

Combinar as potências de B: B^{3/4}/B^{2}=B^{3/4-2}=B^{-5/4}. E simplificar o fator numérico \tfrac{1}{4}\cdot 2=\tfrac{1}{2}. Assim obtemos
f'(x)=\frac{3x^{4}-1}{2}\cdot\frac{1}{A^{3/4}B^{5/4}}.
Voltando aos nomes originais de A e B,
f'(x)=\frac{3x^{4}-1}{2\,(x^{4}-x+1)^{3/4}(x^{4}+x+1)^{5/4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{4}-1}{2\,(x^{4}-x+1)^{3/4}(x^{4}+x+1)^{5/4}}

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