Nos exercícios 1. a 6. derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
Passo 1
O enunciado pede para derivar (ou seja, calcular a derivada de) a função
Informações dadas que vamos usar: a função é a quarta raiz da razão entre
e
. Devemos, se possível, simplificar antes e/ou depois de derivar.
Passo 2
Reescrever a função em forma de potência facilita usar regras de derivação. Escrevemos
onde definimos explicitamente
Agora uma revisão rápida da regra que vamos usar primeiro (cadeia + potência): se
com
constante e
, então
Isso significa, no nosso caso, que ao derivar
obtemos
. Aqui
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia + potência ao nosso
temos
Portanto precisamos calcular a derivada da razão
.
Passo 4
Relembrando a regra do quociente (quotient rule): se
então
Aqui tomamos
e
. Calculamos as derivadas simples:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
Substituímos
e
e expandimos cuidadosamente cada termo. Primeiro expandimos
:
Em seguida expandimos
:
Passo 6
Fazendo a diferença conforme o numerador do quociente:
Cancelam-se muitos termos; sobrando
Logo
Passo 7
Voltemos à expressão da derivada de
:
Agora simplificamos potências e fatores. Note que
. Substituindo,
Passo 8
Combinar as potências de
:
. E simplificar o fator numérico
. Assim obtemos
Voltando aos nomes originais de
e
,