Considere
f(x, y)=x^{2}-y^{2}+x y
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.
Indique onde eles ocorrem (interior ou fronteira).

Passo 1

O enunciado pede os pontos de extremo de f(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy no disco fechado
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^{2}+y^{2}\le4\}
e quer saber se esses extremos ocorrem no interior ou na fronteira de D. Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois estudar a fronteira x^{2}+y^{2}=4.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero para achar pontos críticos interiores:
f_x=2x+y,\qquad f_y=x-2y.
O sistema
\begin{cases} 2x+y=0,\\\ x-2y=0 \end{cases}
tem solução x=0, y=0. Logo, o único ponto crítico interior é (0,0).

Passo 3

Para classificar (0,0) usemos a matriz Hessiana
H(f)=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2&1\\\\ 1&-2 \end{pmatrix}.
O determinante é \det H(f)=2\cdot(-2)-1\cdot1=-5<0, logo (0,0) é ponto de sela e não extremo.

Passo 4

Na fronteira usamos a parametrização
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então
g(t)=f(2\cos t,2\sin t) =4\cos^2t-4\sin^2t+4\cos t\sin t =4\bigl(\cos2t+\tfrac12\sin2t\bigr).

Passo 5

Para achar extremos de g(t) notamos que
\cos2t+\tfrac12\sin2t =\sqrt{1^2+\bigl(\tfrac12\bigr)^2}\, \cos\bigl(2t-\theta\bigr) \quad\text{com}\quad \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac12\bigr).
O máximo de \cos(2t-\theta) é 1 e o mínimo é -1. Assim
\max_{x^2+y^2=4}f=4\cdot\frac{\sqrt5}{2}=2\sqrt5, \quad \min_{x^2+y^2=4}f=-2\sqrt5,
ocorrendo ambos quando 2t-\theta=0 (máximo) ou 2t-\theta=\pi (mínimo), ou seja, na fronteira.

Resposta

Os únicos extremos globais de f em D são
máximo 2\sqrt5 e mínimo -2\sqrt5, ambos ocorrendo na fronteira x^2+y^2=4. O ponto crítico interior (0,0) é um ponto de sela, sem extremo.

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