Considere f(x, y)=x^{2}-y^{2}+x y D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.
Indique onde eles ocorrem (interior ou fronteira).
Passo 1
O enunciado pede os pontos de extremo de f(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy no disco fechado
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^{2}+y^{2}\le4\}
e quer saber se esses extremos ocorrem no interior ou na fronteira de D. Vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois estudar a fronteira x^{2}+y^{2}=4.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero para achar pontos críticos interiores:
f_x=2x+y,\qquad f_y=x-2y.
O sistema
\begin{cases} 2x+y=0,\\\ x-2y=0 \end{cases}
tem solução x=0, y=0. Logo, o único ponto crítico interior é (0,0).
ocorrendo ambos quando 2t-\theta=0 (máximo) ou 2t-\theta=\pi (mínimo), ou seja, na fronteira.
Resposta
Os únicos extremos globais de f em D são
máximo 2\sqrt5 e mínimo -2\sqrt5, ambos ocorrendo na fronteira x^2+y^2=4. O ponto crítico interior (0,0) é um ponto de sela, sem extremo.