Considere
X=\left[\begin{array}{cc} 11 & 2 \\\\ 10 & 4 \\\\ 9 & 3 \end{array}\right],
uma amostra de tamanho 3 de uma Normal bivariada.
Teste a hipótese de que \mu_{0}^{\top}=\left[\begin{array}{ll}9 & 5\end{array}\right] \operatorname{com} \alpha=0.05.

Passo 1

O enunciado pede que testemos, ao nível de significância \alpha=0{,}05, a hipótese sobre a média da normal bivariada a partir da amostra
X=\begin{bmatrix}11 & 2\\[2pt]10 & 4\\[2pt]9 & 3\end{bmatrix},
de tamanho n=3. A hipótese nula é
H_0:\\ \mu^{\top}=\begin{bmatrix}9 & 5\end{bmatrix},
ou seja, testar se a média verdadeira é \mu_0^{\top}=\begin{bmatrix}9 & 5\end{bmatrix}.\n
Informações dadas que usaremos:
\text{amostra } X \text{ com } n=3,\qquad \mu_0^{\top}=\begin{bmatrix}9 & 5\end{bmatrix},\qquad \alpha=0{,}05.]

Passo 2

Primeiro calculamos a média amostral \bar{x}. A média amostral de cada componente é a soma dos valores dessa componente dividida por n. Assim,
\bar{x}_1=\frac{11+10+9}{3}=\frac{30}{3}=10, \qquad \bar{x}_2=\frac{2+4+3}{3}=\frac{9}{3}=3.
Logo a média amostral é
\bar{x}^{\top}=\begin{bmatrix}10 & 3\end{bmatrix}.
A diferença entre a média amostral e a hipótese é
d=\bar{x}-\mu_0=\begin{bmatrix}10-9\\[2pt]3-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]-2\end{bmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos a matriz de covariância amostral S. A definição (amostra) é
S=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x})^{\top},
onde x_i são as linhas da matriz X. Vamos calcular as diferenças x_i-\bar{x}:
x_1-\bar{x}=\begin{bmatrix}11\\[2pt]2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}10\\[2pt]3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\end{bmatrix}, \quad x_2-\bar{x}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]1\end{bmatrix}, \quad x_3-\bar{x}=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Calculamos a soma dos produtos externos:
\sum_{i=1}^3 (x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x})^{\top} = \begin{bmatrix}1&-1\\[2pt]-1&1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{bmatrix}.
Dividindo por n-1=2,
S=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2} & 1\end{bmatrix}.]

Passo 4

Explico o teste que vamos usar (de forma didática): para dados multivariados com média desconhecida e covariância desconhecida, o teste de Hotelling usa a estatística
T^2=n(\bar{x}-\mu_0)^{\top} S^{-1}(\bar{x}-\mu_0),
onde n é o tamanho da amostra, \bar{x} a média amostral, S a covariância amostral e S^{-1} sua inversa. Aqui p é a dimensão (aqui p=2). Sob H_0,
\frac{(n-p)}{p(n-1)}\,T^2 \sim F_{p,\,n-p},
ou seja, a quantidade acima segue uma distribuição F com p graus de liberdade no numerador e n-p no denominador. Rejeitamos H_0 se a estatística transformada exceder o quantil F_{p,n-p;1-\alpha}. Alternativamente comparamos T^2 com o limiar
T^2_{\text{crit}}=\frac{p(n-1)}{n-p}\,F_{p,n-p;1-\alpha}.

Passo 5

Calculamos S^{-1}. Para a matriz 2\times2
S=\begin{bmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2} & 1\end{bmatrix},
o determinante é
\det(S)=1\cdot 1 -\big(-\tfrac{1}{2}\big)^2=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
A inversa é
S^{-1}=\frac{1}{\det(S)}\begin{bmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2} & 1\end{bmatrix} =\frac{4}{3}\begin{bmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2} & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{4}{3} & \tfrac{2}{3}\\[2pt]\tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3}\end{bmatrix}.]

Passo 6

Calculamos T^2. Primeiro computamos S^{-1}d com d=\begin{bmatrix}1\\[2pt]-2\end{bmatrix}:
S^{-1}d= \begin{bmatrix}\tfrac{4}{3} & \tfrac{2}{3}\\[2pt]\tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\[2pt]-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{4}{3}\cdot 1 + \tfrac{2}{3}\cdot(-2)\\[4pt]\tfrac{2}{3}\cdot 1 + \tfrac{4}{3}\cdot(-2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\[2pt]-2\end{bmatrix}.
Então
d^{\top}S^{-1}d=\begin{bmatrix}1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\[2pt]-2\end{bmatrix}=4.
Finalmente
T^2=n\cdot d^{\top}S^{-1}d=3\cdot 4=12.]

Passo 7

Transformamos T^2 na estatística F usando a relação já mencionada:
F_{\text{obs}}=\frac{(n-p)}{p(n-1)}\,T^2.
Aqui n=3, p=2 e n-1=2, n-p=1. Logo o fator é \dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}. Assim
F_{\text{obs}}=\tfrac{1}{4}\cdot 12=3.
Sob H_0 temos F_{\text{obs}}\sim F_{2,1}.

Passo 8

Vamos comparar com o critério de rejeição. O quantil crítico F_{2,1;0{,}95} (percentil 95\% da distribuição F com 2 e 1 graus de liberdade) é bastante grande porque o denominador tem apenas 1 grau de liberdade. Podemos obter esse quantil usando a relação com a distribuição Beta. Calculando (detalhe técnico):
F_{2,1;0{,}95}\approx 199{,}5.
Então o limite para T^2 é
T^2_{\text{crit}}=\frac{p(n-1)}{n-p}\,F_{2,1;0{,}95}=4\cdot 199{,}5\approx 798.
Como T^2=12\ll 798, não rejeitamos H_0. Para ter uma ideia do p-valor: transformando F_{\text{obs}}=3 em parâmetro Beta obtemos a CDF aproximadamente 0{,}622, logo o p-valor é aproximadamente
\text{p-valor}\approx 1-0{,}622=0{,}378.
Isso confirma que \text{p-valor}=0{,}378>0{,}05.

Passo 9

Conclusão e interpretação prática (rápida e amigável): com os dados fornecidos a distância de Mahalanobis entre a média amostral e \mu_0 não é grande o suficiente para rejeitar a hipótese de que a média verdadeira seja \begin{bmatrix}9 & 5\end{bmatrix} ao nível de 5\%. O p-valor é cerca de 0{,}378, o que indica falta de evidência contra H_0.

Resposta

Não rejeitar H_0 ao nível \alpha=0{,}05. (Estatística T^2=12, F_{\text{obs}}=3, p-valor \approx 0{,}378.)

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