uma amostra de tamanho 3 de uma Normal bivariada.
Teste a hipótese de que \mu_{0}^{\top}=\left[\begin{array}{ll}9 & 5\end{array}\right] \operatorname{com} \alpha=0.05.
Passo 1
O enunciado pede que testemos, ao nível de significância \alpha=0{,}05, a hipótese sobre a média da normal bivariada a partir da amostra
Explico o teste que vamos usar (de forma didática): para dados multivariados com média desconhecida e covariância desconhecida, o teste de Hotelling usa a estatística
onde n é o tamanho da amostra, \bar{x} a média amostral, S a covariância amostral e S^{-1} sua inversa. Aqui p é a dimensão (aqui p=2). Sob H_0,
\frac{(n-p)}{p(n-1)}\,T^2 \sim F_{p,\,n-p},
ou seja, a quantidade acima segue uma distribuição F com p graus de liberdade no numerador e n-p no denominador. Rejeitamos H_0 se a estatística transformada exceder o quantil F_{p,n-p;1-\alpha}. Alternativamente comparamos T^2 com o limiar
Transformamos T^2 na estatística F usando a relação já mencionada:
F_{\text{obs}}=\frac{(n-p)}{p(n-1)}\,T^2.
Aqui n=3, p=2 e n-1=2, n-p=1. Logo o fator é \dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}. Assim
F_{\text{obs}}=\tfrac{1}{4}\cdot 12=3.
Sob H_0 temos F_{\text{obs}}\sim F_{2,1}.
Passo 8
Vamos comparar com o critério de rejeição. O quantil crítico F_{2,1;0{,}95} (percentil 95\% da distribuição F com 2 e 1 graus de liberdade) é bastante grande porque o denominador tem apenas 1 grau de liberdade. Podemos obter esse quantil usando a relação com a distribuição Beta. Calculando (detalhe técnico):
Como T^2=12\ll 798, não rejeitamos H_0. Para ter uma ideia do p-valor: transformando F_{\text{obs}}=3 em parâmetro Beta obtemos a CDF aproximadamente 0{,}622, logo o p-valor é aproximadamente
\text{p-valor}\approx 1-0{,}622=0{,}378.
Isso confirma que \text{p-valor}=0{,}378>0{,}05.
Passo 9
Conclusão e interpretação prática (rápida e amigável): com os dados fornecidos a distância de Mahalanobis entre a média amostral e \mu_0 não é grande o suficiente para rejeitar a hipótese de que a média verdadeira seja \begin{bmatrix}9 & 5\end{bmatrix} ao nível de 5\%. O p-valor é cerca de 0{,}378, o que indica falta de evidência contra H_0.
Resposta
Não rejeitar H_0 ao nível \alpha=0{,}05. (Estatística T^2=12, F_{\text{obs}}=3, p-valor \approx 0{,}378.)