Seja
\underset{\sim}{X} \sim N_{2}(\mu, \Sigma)
Foi retirada uma amostra de 25 elementos, da qual resultou a seguinte matriz de variância e covariância amostral
S=\left[\begin{array}{rr} 9 & 7 \\\\ 7 & 15 \end{array}\right]
Teste a hipótese, para \alpha=0,05, que \Sigma toma a seguinte forma
\Sigma_{0}=\left[\begin{array}{rr} 10 & 7 \\\\ 7 & 20 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que testemos, com nível de significância \alpha=0,05, se a matriz de covariância verdadeira \Sigma é igual à matriz proposta
\Sigma_{0}=\begin{pmatrix}10 & 7\\[4pt] 7 & 20\end{pmatrix}.
Informações fornecidas:
\underset{\sim}{X}\sim N_{2}(\mu,\Sigma),\qquad n=25,
matriz de variância-covariância amostral
S=\begin{pmatrix}9 & 7\\[4pt] 7 & 15\end{pmatrix}.
A hipótese a testar é
H_{0}:\\ \Sigma=\Sigma_{0}\qquad\text{vs.}\qquad H_{1}:\\ \Sigma\neq\Sigma_{0},
com \alpha=0,05. A partir daqui vou aplicar um teste e calcular tudo passo a passo.]

Passo 2

Qual teste vamos usar e por quê (explicação didática):
  • Para testar uma hipótese pontual sobre a matriz de covariância quando os dados são multivariados normais, um procedimento padrão é o teste da razão de verossimilhança (Likelihood Ratio Test, LRT).
  • A ideia intuitiva: comparar a verossimilhança máxima sob H_{0} (quando fixamos \Sigma=\Sigma_{0}) com a verossimilhança máxima sem essa restrição (estimando \Sigma por S). Se a razão de verossimilhança for muito pequena, os dados não suportam H_{0}.
  • Fórmula prática (para p-dimensões e amostra de tamanho n, com S amostral e hipótese \Sigma_{0}):
-2\ln\Lambda=(n-1)\Big[\operatorname{tr}(\Sigma_{0}^{-1}S)-\ln\big|\Sigma_{0}^{-1}S\big|-p\Big].
Aqui:
  • \Lambda é a razão de verossimilhança;
  • n é o tamanho da amostra ( n=25);
  • p é a dimensão ( p=2);
  • \operatorname{tr}(\cdot) é a soma dos elementos da diagonal (traço);
  • |\cdot| denota determinante;
  • \Sigma_{0}^{-1}S é a multiplicação matricial.
  • Sob H_{0}, para amostras não muito pequenas, -2\ln\Lambda tem aproximadamente distribuição qui-quadrado com graus de liberdade
\text{df}=\frac{p(p+1)}{2}.
No nosso caso, p=2\Rightarrow\text{df}=3. Portanto vamos calcular -2\ln\Lambda e comparar com o quantil crítico da \chi^{2}_{3} em nível 0{,}95, que é \chi^{2}_{3,0{,}95}\approx 7{,}8147. Se -2\ln\Lambda>\chi^{2}_{3,0{,}95} rejeitamos H_{0}; caso contrário, não rejeitamos.

Passo 3

Calcular os determinantes |S| e |\Sigma_{0}| (isso vem direto das matrizes dadas).
|S|=\begin{vmatrix}9 & 7\\[4pt] 7 & 15\end{vmatrix}=9\cdot15-7\cdot7=135-49=86.
|\Sigma_{0}|=\begin{vmatrix}10 & 7\\[4pt] 7 & 20\end{vmatrix}=10\cdot20-7\cdot7=200-49=151.]

Passo 4

Calcular \Sigma_{0}^{-1}. Para uma 2\times2 simétrica
\begin{pmatrix}a&b\\\ b&d\end{pmatrix}, a inversa é
\dfrac{1}{ad-b^{2}}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -b&a\end{pmatrix}.
Aplicando com a=10,\\ b=7,\\ d=20 e usando |\Sigma_{0}|=151:
\Sigma_{0}^{-1}=\frac{1}{151}\begin{pmatrix}20 & -7\\[4pt] -7 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o produto matricial \Sigma_{0}^{-1}S e seu traço.
Primeiro o produto numerador:
\begin{pmatrix}20 & -7\\[4pt] -7 & 10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}9 & 7\\[4pt] 7 & 15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\cdot9+(-7)\cdot7 & 20\cdot7+(-7)\cdot15\\[6pt] (-7)\cdot9+10\cdot7 & (-7)\cdot7+10\cdot15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}131 & 35\\[4pt] 7 & 101\end{pmatrix}.
Agora
\Sigma_{0}^{-1}S=\frac{1}{151}\begin{pmatrix}131 & 35\\[4pt] 7 & 101\end{pmatrix}.
O traço é a soma dos elementos diagonais:
\operatorname{tr}(\Sigma_{0}^{-1}S)=\frac{131+101}{151}=\frac{232}{151}\approx 1{,}53642384.]

Passo 6

Calcular \ln\big|\Sigma_{0}^{-1}S\big|. Usamos a propriedade de determinantes:
\big|\Sigma_{0}^{-1}S\big|=|\Sigma_{0}^{-1}|\cdot|S|=\frac{1}{|\Sigma_{0}|}\,|S|.
Logo
\ln\big|\Sigma_{0}^{-1}S\big|=\ln|S|-\ln|\Sigma_{0}|=\ln(86)-\ln(151)\approx 4{,}4543473-5{,}0172798\approx -0{,}5629325.

Passo 7

Calcular -2\ln\Lambda com todos os números:
-2\ln\Lambda=(n-1)\Big[\operatorname{tr}(\Sigma_{0}^{-1}S)-\ln\big|\Sigma_{0}^{-1}S\big|-p\Big].
Substituindo n-1=24, \operatorname{tr}(\Sigma_{0}^{-1}S)\approx1{,}53642384, \ln\big|\Sigma_{0}^{-1}S\big|\approx-0{,}5629325 e p=2:
\begin{aligned} -2\ln\Lambda & =24\Big[1{,}53642384-(-0{,}5629325)-2\Big]\\[4pt] & =24\Big[1{,}53642384+0{,}5629325-2\Big]\\[4pt] & =24\cdot 0{,}09935634\approx 2{,}384552. \end{aligned}]

Passo 8

Comparação com a distribuição de referência e decisão:
  • Graus de liberdade: \text{df}=3.
  • Valor crítico para \alpha=0{,}05: \chi^{2}_{3,0{,}95}\approx 7{,}8147.
  • Nosso estatístico: -2\ln\Lambda\approx 2{,}3846.
    Como 2{,}3846<7{,}8147, não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.
    Estimativa do p-valor: como -2\ln\Lambda está cerca de 2{,}38 e a mediana da \chi^{2}_{3} é aproximadamente 2{,}366, o p-valor é aproximadamente 0{,}49 (muito maior que 0{,}05). Portanto não há evidência contra \Sigma=\Sigma_{0}.

Passo 9

Interpretação final amigável: os dados amostrais não mostram desvio estatisticamente significativo da matriz proposta \Sigma_{0} ao nível 5\%. Em termos práticos: com esta amostra de 25 observações, a diferença entre S e \Sigma_{0} pode ser atribuída ao acaso amostral; não temos evidência suficiente para dizer que \Sigma é diferente de \Sigma_{0}. Força: se quiser mais poder para detectar pequenas diferenças, seria preciso uma amostra maior.

Resposta

-2\ln\Lambda\approx 2{,}3846;\quad \chi^{2}_{3,0{,}95}\approx 7{,}8147\quad (crítico).\nP-valor \approx 0{,}49.\nDecisão: não rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.

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