com \alpha=0,05. A partir daqui vou aplicar um teste e calcular tudo passo a passo.]
Passo 2
Qual teste vamos usar e por quê (explicação didática):
Para testar uma hipótese pontual sobre a matriz de covariância quando os dados são multivariados normais, um procedimento padrão é o teste da razão de verossimilhança (Likelihood Ratio Test, LRT).
A ideia intuitiva: comparar a verossimilhança máxima sob H_{0} (quando fixamos \Sigma=\Sigma_{0}) com a verossimilhança máxima sem essa restrição (estimando \Sigma por S). Se a razão de verossimilhança for muito pequena, os dados não suportam H_{0}.
Fórmula prática (para p-dimensões e amostra de tamanho n, com S amostral e hipótese \Sigma_{0}):
\operatorname{tr}(\cdot) é a soma dos elementos da diagonal (traço);
|\cdot| denota determinante;
\Sigma_{0}^{-1}S é a multiplicação matricial.
Sob H_{0}, para amostras não muito pequenas, -2\ln\Lambda tem aproximadamente distribuição qui-quadrado com graus de liberdade
\text{df}=\frac{p(p+1)}{2}.
No nosso caso, p=2\Rightarrow\text{df}=3. Portanto vamos calcular -2\ln\Lambda e comparar com o quantil crítico da \chi^{2}_{3} em nível 0{,}95, que é \chi^{2}_{3,0{,}95}\approx 7{,}8147. Se -2\ln\Lambda>\chi^{2}_{3,0{,}95} rejeitamos H_{0}; caso contrário, não rejeitamos.
Passo 3
Calcular os determinantes |S| e |\Sigma_{0}| (isso vem direto das matrizes dadas).
Calcular \Sigma_{0}^{-1}. Para uma 2\times2 simétrica \begin{pmatrix}a&b\\\ b&d\end{pmatrix}, a inversa é \dfrac{1}{ad-b^{2}}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -b&a\end{pmatrix}.
Aplicando com a=10,\\ b=7,\\ d=20 e usando |\Sigma_{0}|=151:
Comparação com a distribuição de referência e decisão:
Graus de liberdade: \text{df}=3.
Valor crítico para \alpha=0{,}05: \chi^{2}_{3,0{,}95}\approx 7{,}8147.
Nosso estatístico: -2\ln\Lambda\approx 2{,}3846.
Como 2{,}3846<7{,}8147, não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.
Estimativa do p-valor: como -2\ln\Lambda está cerca de 2{,}38 e a mediana da \chi^{2}_{3} é aproximadamente 2{,}366, o p-valor é aproximadamente 0{,}49 (muito maior que 0{,}05). Portanto não há evidência contra \Sigma=\Sigma_{0}.
Passo 9
Interpretação final amigável: os dados amostrais não mostram desvio estatisticamente significativo da matriz proposta \Sigma_{0} ao nível 5\%. Em termos práticos: com esta amostra de 25 observações, a diferença entre S e \Sigma_{0} pode ser atribuída ao acaso amostral; não temos evidência suficiente para dizer que \Sigma é diferente de \Sigma_{0}. Força: se quiser mais poder para detectar pequenas diferenças, seria preciso uma amostra maior.
Resposta
-2\ln\Lambda\approx 2{,}3846;\quad \chi^{2}_{3,0{,}95}\approx 7{,}8147\quad (crítico).\nP-valor \approx 0{,}49.\nDecisão: não rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.