Os dados seguinte se referem aos gastos anuais de uma amostra de uma familia em tres diferentes produtos: Livros, filmes, músicas. \left(F_{3,3}(0.01)=29.46\right)\left(F_{3,11}(0.05)=3.59\right)
Table 1: Tabela 1
\captionsetup{labelformat=empty}
Famlias
Livros
Filmes
Músicas
1
78
60.6
16.5
2
76
58.1
12.5
3
92
63.2
14.5
4
81
59
14
5
81
60.8
15.5
6
84
59.5
14
a) Teste a hipótese de que a média dos gastos anuais das famílias é \mu=\left[\begin{array}{lll}70 & 40 & 25\end{array}\right] para um \alpha=0.01.
Considere a matriz de variância-covariância amostral igual a
b) Agora considere que foi retirada uma segunda amostra de uma mesma população 2 anos após a amostra anterior (matriz de covariância populacional iguais). Nesta amostra, os gastos foram os seguintes:
Table 2: Tabela 2
\captionsetup{labelformat=empty}
Famlias2
Livros
Filmes
Músicas
1
80
58.4
14
2
75
59.2
15
3
78
60.3
15
4
75
57.4
13
5
79
59.5
14
6
78
58.1
14.5
7
75
58
12.5
8
64
55.5
11
9
80
59.2
12.5
Teste a hipótese de que entre estes dois estratos não houve diferença significativa entre os gastos (para \alpha=0.05 ).
Além disso, S^{-1}\left({\underset{\sim}{X}}_{1}-{\underset{\sim}{X}}_{2}\right)=\left[\begin{array}{l}0,1278 \\\\ 0,3493 \\\\ 0,0797\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Testar, ao nível de significância \alpha=0,01, a hipótese de que a média dos gastos anuais da primeira amostra (as 6 famílias da Tabela 1) é
Dados fornecidos usados aqui: as observações da Tabela 1 e a matriz amostral de covariância \mathbf{S} e sua inversa \mathbf{S}^{-1} (fornecidas no enunciado).
(b) Testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se as médias entre as duas amostras (Tabela 1 com n_{1}=6 e Tabela 2 com n_{2}=9) diferem, assumindo covariância populacional igual. Dados fornecidos usados aqui: as observações da Tabela 2, as matrizes (n_{1}-1)\mathbf{S}_{1} e (n_{2}-1)\mathbf{S}_{2} (fornecidas), e o vetor \mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2}) fornecido no enunciado:
Montar o teste de Hotelling univariado-multivariado (one-sample Hotelling) para (a).
Teoria/ fórmula usada (explicação didática):
Quando queremos testar \displaystyle H_{0}:\\ \boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}_{0}\) para uma amostra multivariada com \(n\) observações e \(p\) variáveis, usamos a estatística de Hotelling
\[T^{2}=n(\bar{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu}_{0})'\,\mathbf{S}^{-1}\,(\bar{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu}_{0}),
onde:
n é o tamanho da amostra (n=6 aqui),
\bar{\mathbf{X}} é o vetor média amostral (mostrei no Passo 2),
\boldsymbol{\mu}_{0} é o vetor hipótese (aqui \left[70\\\ 40\\\ 25\right]),
\mathbf{S} é a matriz de covariância amostral (fornecida) e \mathbf{S}^{-1} a sua inversa (fornecida).
Sob H_{0},
\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^{2}\sim F_{p,n-p}.
Isto significa que a comparação prática que fazemos é: computamos T^{2} e comparamos com o valor crítico
Calcular \mathbf{S}^{-1}\mathbf{d}. Podemos obter \mathbf{S}^{-1}\mathbf{d} resolvendo o sistema linear \mathbf{S}\mathbf{x}=\mathbf{d} (pois \mathbf{x}=\mathbf{S}^{-1}\mathbf{d}). Resolvi esse sistema por eliminação (mostro as equações principais resultantes da eliminação; é um procedimento mecânico de álgebra linear):
As equações originais (usando \mathbf{S} e \mathbf{d}) são
Decisão: como T^{2}\approx2\,397,02 é muito maior que T^{2}_{\text{crit}}=147,30, rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,01. Em palavras: os dados da primeira amostra fornecem evidência forte de que a média verdadeira não é \left[70\\\ 40\\\ 25\right].]
Passo 4
Resolver (b): teste de igualdade de médias entre as duas amostras (n_{1}=6, n_{2}=9, p=3), assumindo covariância comum.
Teoria/ fórmula usada (explicação didática):
Para duas amostras independentes com covariâncias iguais, usamos a estatística de Hotelling
Calcular a matriz pooled \mathbf{S}_{p}. O enunciado forneceu (n_{2}-1)\mathbf{S}_{2} e (n_{1}-1)\mathbf{S}_{1}. Somando e dividindo por n_{1}+n_{2}-2=13 obtemos:
Em vez de inverter \mathbf{S}_{p} explicitamente, o enunciado já nos forneceu o vetor \mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2}) (interpreto aqui como \mathbf{S}_{p}^{-1}\boldsymbol{\delta}):
Converter para F e comparar com o quantil. Aqui p=3, n_{1}+n_{2}=15, então os graus de liberdade para F são (p,\;n_{1}+n_{2}-p-1)=(3,11) e a constante de conversão é
Valor crítico: o enunciado deu F_{3,11}(0,05)=3,59. Como F_{\text{obs}}\approx1,497<3,59, não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,05. Em palavras: não se detecta diferença significativa entre as médias das duas amostras.]
Resposta
(a) Rejeita H_{0} ao nível \alpha=0,01 (estatística T^{2}\approx2\,397,02>147,30).\n(b) Não rejeita H_{0} ao nível \alpha=0,05 (estatística transformada F\approx1,497<3,59).