Os dados seguinte se referem aos gastos anuais de uma amostra de uma familia em tres diferentes produtos: Livros, filmes, músicas. \left(F_{3,3}(0.01)=29.46\right)\left(F_{3,11}(0.05)=3.59\right)
Table 1: Tabela 1
\captionsetup{labelformat=empty}
Famlias Livros Filmes Músicas
1 78 60.6 16.5
2 76 58.1 12.5
3 92 63.2 14.5
4 81 59 14
5 81 60.8 15.5
6 84 59.5 14
a) Teste a hipótese de que a média dos gastos anuais das famílias é \mu=\left[\begin{array}{lll}70 & 40 & 25\end{array}\right] para um \alpha=0.01.
Considere a matriz de variância-covariância amostral igual a
S^{-1}=\frac{1}{23.13848} \cdot\left[\begin{array}{ccc} 4.3107 & 0 & 0 \\\\ -14.6210 & 59.7900 & 0 \\\\ 8.9464 & -37.3760 & 35.5936 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \mathbf{S}=\left[\begin{array}{ccc} 31 & 8.04 & 1.5 \\\\ 8.04 & 4.12 & 1.31 \\\\ 1.5 & 1.31 & 1.9 \end{array}\right]
b) Agora considere que foi retirada uma segunda amostra de uma mesma população 2 anos após a amostra anterior (matriz de covariância populacional iguais). Nesta amostra, os gastos foram os seguintes:
Table 2: Tabela 2
\captionsetup{labelformat=empty}
Famlias2 Livros Filmes Músicas
1 80 58.4 14
2 75 59.2 15
3 78 60.3 15
4 75 57.4 13
5 79 59.5 14
6 78 58.1 14.5
7 75 58 12.5
8 64 55.5 11
9 80 59.2 12.5
Teste a hipótese de que entre estes dois estratos não houve diferença significativa entre os gastos (para \alpha=0.05 ).
Considere:
\left(n_{2}-1\right) S_{2}=\left[\begin{array}{ccc} 190 & 45 & 35.5 \\\\ 45 & 15.76 & 11.7 \\\\ 35.5 & 11.7 & 14.5 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad\left(n_{1}-1\right) S_{1}=\left[\begin{array}{ccc} 158 & 0 & 0 \\\\ 40.2 & 15.86 & 0 \\\\ 2.5 & 6.55 & 9.5 \end{array}\right]
Além disso, S^{-1}\left({\underset{\sim}{X}}_{1}-{\underset{\sim}{X}}_{2}\right)=\left[\begin{array}{l}0,1278 \\\\ 0,3493 \\\\ 0,0797\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Testar, ao nível de significância \alpha=0,01, a hipótese de que a média dos gastos anuais da primeira amostra (as 6 famílias da Tabela 1) é
\mu=\left[\begin{array}{ccc}70 & 40 & 25\end{array}\right].
Dados fornecidos usados aqui: as observações da Tabela 1 e a matriz amostral de covariância \mathbf{S} e sua inversa \mathbf{S}^{-1} (fornecidas no enunciado).
  • (b) Testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se as médias entre as duas amostras (Tabela 1 com n_{1}=6 e Tabela 2 com n_{2}=9) diferem, assumindo covariância populacional igual. Dados fornecidos usados aqui: as observações da Tabela 2, as matrizes (n_{1}-1)\mathbf{S}_{1} e (n_{2}-1)\mathbf{S}_{2} (fornecidas), e o vetor \mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2}) fornecido no enunciado:
\mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2})=\left[\begin{array}{c}0,1278\\[4pt]0,3493\\[4pt]0,0797\end{array}\right].
Informações relevantes explícitas:
  • Tabela 1 tem n_{1}=6 observações (familias 1 a 6).
  • Tabela 2 tem n_{2}=9 observações (familias2 1 a 9).
  • Matriz amostral \mathbf{S} (fornecida) é
\mathbf{S}=\left[\begin{array}{ccc} 31 & 8,04 & 1,5\\[4pt] 8,04 & 4,12 & 1,31\\[4pt] 1,5 & 1,31 & 1,9 \end{array}\right].
  • Matriz \mathbf{S}^{-1} foi dada como
\mathbf{S}^{-1}=\frac{1}{23,13848}\left[\begin{array}{ccc} 4,3107 & 0 & 0\\[4pt] -14,6210 & 59,7900 & 0\\[4pt] 8,9464 & -37,3760 & 35,5936 \end{array}\right].
  • Valores críticos de F fornecidos: F_{3,3}(0,01)=29,46 e F_{3,11}(0,05)=3,59.]

Passo 2

Calcular a média amostral da Tabela 1 (vou mostrar a soma e a divisão para cada componente; peguei os dados diretamente da Tabela 1):
  • Livros: observações \{78,76,92,81,81,84\}. Soma =78+76+92+81+81+84=492. Logo
\bar{X}_{1,\text{livros}}=\frac{492}{6}=82.
  • Filmes: observações \{60,6,58,1,63,2,59,60,8,59,5\}. Soma =361,2. Logo
\bar{X}_{1,\text{filmes}}=\frac{361,2}{6}=60,2.
  • Músicas: observações \{16,5,12,5,14,5,14,15,5,14\}. Soma =87. Logo
\bar{X}_{1,\text{músicas}}=\frac{87}{6}=14,5.ú
Portanto a média amostral da primeira amostra (Tabela 1) é
\bar{\mathbf{X}}_{1}=\left[\begin{array}{c}82\\[4pt]60,2\\[4pt]14,5\end{array}\right].]

Passo 3

Montar o teste de Hotelling univariado-multivariado (one-sample Hotelling) para (a).
Teoria/ fórmula usada (explicação didática):
  • Quando queremos testar \displaystyle H_{0}:\\ \boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}_{0}\) para uma amostra multivariada com \(n\) observações e \(p\) variáveis, usamos a estatística de Hotelling \[T^{2}=n(\bar{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu}_{0})'\,\mathbf{S}^{-1}\,(\bar{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu}_{0}),
onde:
  • n é o tamanho da amostra ( n=6 aqui),
  • \bar{\mathbf{X}} é o vetor média amostral (mostrei no Passo 2),
  • \boldsymbol{\mu}_{0} é o vetor hipótese (aqui \left[70\\\ 40\\\ 25\right]),
  • \mathbf{S} é a matriz de covariância amostral (fornecida) e \mathbf{S}^{-1} a sua inversa (fornecida).
  • Sob H_{0},
\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^{2}\sim F_{p,n-p}.
Isto significa que a comparação prática que fazemos é: computamos T^{2} e comparamos com o valor crítico
T^{2}_{\text{crit}}=\frac{p(n-1)}{n-p}\,F_{p,n-p}(\alpha).
Aplicação numérica (passo a passo):
  1. Calcular a diferença \mathbf{d}=\bar{\mathbf{X}}_{1}-\boldsymbol{\mu}_{0}. Usando os números:
\mathbf{d}=\left[\begin{array}{c}82\\[4pt]60,2\\[4pt]14,5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}70\\[4pt]40\\[4pt]25\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}12\\[4pt]20,2\\[4pt]-10,5\end{array}\right].
  1. Calcular \mathbf{S}^{-1}\mathbf{d}. Podemos obter \mathbf{S}^{-1}\mathbf{d} resolvendo o sistema linear \mathbf{S}\mathbf{x}=\mathbf{d} (pois \mathbf{x}=\mathbf{S}^{-1}\mathbf{d}). Resolvi esse sistema por eliminação (mostro as equações principais resultantes da eliminação; é um procedimento mecânico de álgebra linear):
  • As equações originais (usando \mathbf{S} e \mathbf{d}) são
\begin{cases} 31x_{1}+8,04x_{2}+1,5x_{3}=12,\\[4pt] 8,04x_{1}+4,12x_{2}+1,31x_{3}=20,2,\\[4pt] 1,5x_{1}+1,31x_{2}+1,9x_{3}=-10,5. \end{cases}
  • Após eliminação (passos algébricos mostrados no cálculo), obtive
\mathbf{S}^{-1}\mathbf{d}=\mathbf{x}\approx\left[\begin{array}{r}-2,7136\\[3pt]14,4490\\[3pt]-13,3521\end{array}\right].
  1. Calcular o produto quadrático (q=\mathbf{d}’(\mathbf{S}^{-1}\mathbf{d})]:
    q=12\cdot(-2,7136)+20,2\cdot14,4490+(-10,5)\cdot(-13,3521)\approx399,504.
  2. Finalmente
T^{2}=n\cdot q=6\cdot399,504\approx2\,397,02.
  1. Calcular o valor crítico para \alpha=0,01. Aqui p=3, n=6, então
T^{2}_{\text{crit}}=\frac{p(n-1)}{n-p}\,F_{p,n-p}(\alpha) =\frac{3\cdot5}{6-3}\,F_{3,3}(0,01)=5\cdot F_{3,3}(0,01).
O enunciado deu F_{3,3}(0,01)=29,46, então
T^{2}_{\text{crit}}=5\cdot29,46=147,30.
  1. Decisão: como T^{2}\approx2\,397,02 é muito maior que T^{2}_{\text{crit}}=147,30, rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,01. Em palavras: os dados da primeira amostra fornecem evidência forte de que a média verdadeira não é \left[70\\\ 40\\\ 25\right].]

Passo 4

Resolver (b): teste de igualdade de médias entre as duas amostras ( n_{1}=6, n_{2}=9, p=3), assumindo covariância comum.
Teoria/ fórmula usada (explicação didática):
  • Para duas amostras independentes com covariâncias iguais, usamos a estatística de Hotelling
T^{2}=\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2})'\,\mathbf{S}_{p}^{-1}\,(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2}),
onde \mathbf{S}_{p} é a matriz de covariância agrupada (pooled):
\mathbf{S}_{p}=\frac{(n_{1}-1)\mathbf{S}_{1}+(n_{2}-1)\mathbf{S}_{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
  • Sob H_{0}:\\ \boldsymbol{\mu}_{1}=\boldsymbol{\mu}_{2},
\frac{n_{1}+n_{2}-p-1}{p(n_{1}+n_{2}-2)}\,T^{2}\sim F_{p,n_{1}+n_{2}-p-1}.
Logo comparamos a estatística transformada com o quantil F_{p,n_{1}+n_{2}-p-1}(\alpha).
Aplicação numérica (passo a passo):
  1. Calcular as médias da Tabela 2 (peguei os dados diretamente da Tabela 2):
  • Livros soma =684, portanto \bar{X}_{2,\text{livros}}=684/9=76.
  • Filmes soma =525,6, portanto \bar{X}_{2,\text{filmes}}=525,6/9=58,4.
  • Músicas soma =121,5, portanto \bar{X}_{2,\text{músicas}}=121,5/9=13,5ú.
Logo
\bar{\mathbf{X}}_{2}=\left[\begin{array}{c}76\\[4pt]58,4\\[4pt]13,5\end{array}\right].
  1. Diferença de médias
\boldsymbol{\delta}=\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2}=\left[\begin{array}{c}82\\[4pt]60,2\\[4pt]14,5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}76\\[4pt]58,4\\[4pt]13,5\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}6\\[4pt]1,8\\[4pt]1,0\end{array}\right].
  1. Calcular a matriz pooled \mathbf{S}_{p}. O enunciado forneceu (n_{2}-1)\mathbf{S}_{2} e (n_{1}-1)\mathbf{S}_{1}. Somando e dividindo por n_{1}+n_{2}-2=13 obtemos:
\mathbf{S}_{p}=\frac{1}{13}\left[\begin{array}{ccc} 348 & 45 & 35,5\\[4pt] 85,2 & 31,62 & 11,7\\[4pt] 38 & 18,25 & 24 \end{array}\right] \approx\left[\begin{array}{ccc} 26,7692 & 3,4615 & 2,7308\\[4pt] 3,4615 & 2,4323 & 0,9\\[4pt] 2,7308 & 0,9 & 1,8462 \end{array}\right].
  1. Em vez de inverter \mathbf{S}_{p} explicitamente, o enunciado já nos forneceu o vetor \mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}_{1}-\bar{\mathbf{X}}_{2}) (interpreto aqui como \mathbf{S}_{p}^{-1}\boldsymbol{\delta}):
\mathbf{S}_{p}^{-1}\boldsymbol{\delta}=\left[\begin{array}{c}0,1278\\[4pt]0,3493\\[4pt]0,0797\end{array}\right].
Então o produto interno necessário é
\boldsymbol{\delta}'(\mathbf{S}_{p}^{-1}\boldsymbol{\delta})=6\cdot0,1278+1,8\cdot0,3493+1\cdot0,0797 \approx1,47524.
  1. Calcular T^{2}:
T^{2}=\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\;\boldsymbol{\delta}'(\mathbf{S}_{p}^{-1}\boldsymbol{\delta}) =\frac{6\cdot9}{6+9}\cdot1,47524=\frac{54}{15}\cdot1,47524=3,6\cdot1,47524\approx5,311.
  1. Converter para F e comparar com o quantil. Aqui p=3, n_{1}+n_{2}=15, então os graus de liberdade para F são (p,\;n_{1}+n_{2}-p-1)=(3,11) e a constante de conversão é
\frac{n_{1}+n_{2}-p-1}{p(n_{1}+n_{2}-2)}=\frac{11}{3\cdot13}=\frac{11}{39}\approx0,28205.
Logo
F_{\text{obs}}=\frac{11}{39}\,T^{2}\approx0,28205\cdot5,311\approx1,497.
  1. Valor crítico: o enunciado deu F_{3,11}(0,05)=3,59. Como F_{\text{obs}}\approx1,497<3,59, não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,05. Em palavras: não se detecta diferença significativa entre as médias das duas amostras.]

Resposta

(a) Rejeita H_{0} ao nível \alpha=0,01 (estatística T^{2}\approx2\,397,02>147,30).\n(b) Não rejeita H_{0} ao nível \alpha=0,05 (estatística transformada F\approx1,497<3,59).

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