Foi retirada uma amostra de 50 empresas pertencentes a um setor de atividade econômica em crise durante os últimos anos. Foram analisados os resultados de exploração dos últimos anos, tendo-se obtido as seguintes estimativas:
X_{1} : resultado no ano de 2020.
X_{2} : resultado no ano de 2021.
\bar{X}=\left[\begin{array}{c} -0.2 \\\\ 0.9 \end{array}\right] ; \quad \mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc} 2.3 & -1.8 \\\\ -1.8 & 3.4 \end{array}\right] .
a) Pressupondo que as 50 empresas pertencem a uma população Normal com parâmetro \mu e \Sigma, teste a hipótese de que os resultados nos últimos dois anos foram nulas, ou seja, H_{0}: \mu=\mathbf{0}. ( \alpha=0.05 )
b) Construa o intervalo de confiança a 95 \% para o valor de médias \mu.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado\n
  • Pedidos:
    1. Testar a hipótese H_{0}:\mu=\mathbf{0} versus H_{1}:\mu\neq\mathbf{0} com nível de significância \alpha=0{,}05.
    2. Construir um intervalo de confiança de 95\% para o vetor de médias \mu.\n
  • Dados fornecidos (da amostra de n=50 empresas): \bar{X}=\begin{pmatrix}-0{,}2\\[4pt]0{,}9\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}2{,}3 & -1{,}8\\[4pt]-1{,}8 & 3{,}4\end{pmatrix}.
  • Observações importantes que vou usar depois: n=50, dimensão p=2. A matriz S é a matriz de covariância amostral (assumimos a forma usual com divisor n-1).\n
    (Na próxima etapa eu inicio de fato a resolução: montar a estatística de teste, calcular, comparar com o valor crítico e depois construir o intervalo de confiança.)]

Passo 2

Formulação do teste (fórmula e interpretação didática)\n
  • Para testar H_{0}:\mu=\mu_{0} no caso multivariado com amostra de tamanho n e dimensão p, usamos a estatística de Hotelling
T^{2}=n(\bar{X}-\mu_{0})'S^{-1}(\bar{X}-\mu_{0}).
Aqui: \bar{X} é o vetor média amostral, S a matriz de covariância amostral, S^{-1} a sua inversa, e (\cdot)' denota transposta. A ideia intuitiva: T^{2} mede a distância quadrática entre a média amostral e o vetor hipótese \mu_{0}, escalada pela variabilidade e pelo tamanho da amostra.\n
  • Para decidir, relacionamos T^{2} com a distribuição F. A relação (quando S usa divisor n-1) é
\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^{2}\sim F_{p,n-p},
então o valor crítico para rejeitar ao nível \alpha é
T^{2}_{\text{crit}}=\frac{p(n-1)}{n-p}\,F_{p,n-p,\,1-\alpha},
onde F_{p,n-p,\,1-\alpha} é o quantil 1-\alpha da F com p e n-p graus de liberdade.\n
Agora aplico isso aos números do problema.

Passo 3

Cálculo da inversa de S (passo a passo, sem pular etapas)\n
  • Primeiro calcule o determinante de S:
\det(S)=2{,}3\cdot 3{,}4 - (-1{,}8)^{2}=7{,}82-3{,}24=4{,}58.
  • A inversa de uma 2\times2 é
S^{-1}=\frac{1}{\det(S)}\begin{pmatrix}3{,}4 & 1{,}8\\[4pt]1{,}8 & 2{,}3\end{pmatrix}.
Logo
S^{-1}=\frac{1}{4{,}58}\begin{pmatrix}3{,}4 & 1{,}8\\[4pt]1{,}8 & 2{,}3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de T^{2} (multiplicações e produto interno passo a passo)\n
  • Vou calcular S^{-1}\bar{X}. Primeiro calcule o produto da matriz sem o fator 1/4{,}58:
\begin{pmatrix}3{,}4 & 1{,}8\\[4pt]1{,}8 & 2{,}3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-0{,}2\\[4pt]0{,}9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}4(-0{,}2)+1{,}8(0{,}9)\\[4pt]1{,}8(-0{,}2)+2{,}3(0{,}9)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0{,}68+1{,}62\\[4pt]-0{,}36+2{,}07\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}94\\[4pt]1{,}71\end{pmatrix}.
  • Agora incluo o fator 1/4{,}58:
S^{-1}\bar{X}=\begin{pmatrix}0{,}94/4{,}58\\[4pt]1{,}71/4{,}58\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}0{,}205237\\[4pt]0{,}373360\end{pmatrix}.
  • Produto interno (\bar{X})'(S^{-1}\bar{X}):
(\bar{X})'(S^{-1}\bar{X}) = (-0{,}2)(0{,}205237)+0{,}9(0{,}373360)\approx -0{,}041047+0{,}336024=0{,}294977.
  • Finalmente
T^{2}=n\cdot (\bar{X})'(S^{-1}\bar{X})=50\cdot 0{,}294977\approx 14{,}749.]

Passo 5

Decisão do teste usando a distribuição F (calculei também a estatística F equivalente)\n
  • Estatística F equivalente:
F_{\text{obs}}=\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^{2}=\frac{50-2}{2\cdot 49}\cdot 14{,}749 =\frac{48}{98}\cdot 14{,}749\approx 7{,}223.
  • O quantil crítico da F com (p,n-p)=(2,48) ao nível 1-\alpha=0{,}95 (tabela) é aproximadamente
F_{2,48,\,0{,}95}\approx 3{,}20.
  • Comparação: F_{\text{obs}}\approx 7{,}22 > 3{,}20. Assim rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Em termos da estatística T^{2}, o valor crítico correspondente seria
T^{2}_{\text{crit}}=\frac{p(n-1)}{n-p}F_{2,48,\,0{,}95}\approx \frac{2\cdot 49}{48}\cdot 3{,}20\approx 6{,}53,
e T^{2}_{\text{obs}}\approx 14{,}75>6{,}53, mesma conclusão.\n
Interpretação curta e amiga: os resultados médios dos dois anos, tomados em conjunto, diferem significativamente de zero — ou seja, o vetor média não é compatível com o vetor nulo.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \mu (região elíptica e intervalos simultâneos)\n
  • A região de confiança multivariada (elipse) de 100(1-\alpha)\% é dada por
\{\mu:\; n(\bar{X}-\mu)'S^{-1}(\bar{X}-\mu)\le T^{2}_{\text{crit}}\},
com T^{2}_{\text{crit}}=\dfrac{p(n-1)}{n-p}F_{p,n-p,\,1-\alpha} (já calculado aproximadamente acima).\n
  • Uma forma prática e frequentemente solicitada é fornecer intervalos simultâneos para cada componente de \mu que controlam o nível global 1-\alpha. Esses intervalos simultâneos são
\bar{X}_{j}\pm \sqrt{\frac{p(n-1)}{n(n-p)}\,F_{p,n-p,\,1-\alpha}\; s_{jj}},\qquad j=1,2,
onde s_{jj} é a variância amostral da componente j (elemento diagonal de S). O fator dentro da raiz é a constante c:
c=\frac{p(n-1)}{n(n-p)}\,F_{p,n-p,\,1-\alpha}.
  • Calculo numérico do fator c: com p=2, n=50 e F_{2,48,\,0{,}95}\approx 3{,}20,
c=\frac{2\cdot 49}{50\cdot 48}\cdot 3{,}20=\frac{98}{2400}\cdot 3{,}20\approx 0{,}130667.
  • Agora as raízes para cada componente:
    • Para j=1: s_{11}=2{,}3,
    \text{meia-amplitude}_1=\sqrt{c\cdot s_{11}}=\sqrt{0{,}130667\cdot 2{,}3}\approx \sqrt{0{,}300533}\approx 0{,}548.Assim o intervalo simultâneo para \mu_{1} é \bar{X}_{1}\pm 0{,}548 \Rightarrow -0{,}2\pm 0{,}548 = (-0{,}748,\;0{,}348).
    • Para j=2: s_{22}=3{,}4,
    \text{meia-amplitude}_2=\sqrt{c\cdot s_{22}}=\sqrt{0{,}130667\cdot 3{,}4}\approx \sqrt{0{,}444267}\approx 0{,}667.Assim o intervalo simultâneo para \mu_{2} é \bar{X}_{2}\pm 0{,}667 \Rightarrow 0{,}9\pm 0{,}667 = (0{,}233,\;1{,}567).
  • Essas duas intervalos são simultâneos ao nível 95\%, i.e., o vetor \mu inteiro estará dentro da região elíptica com probabilidade aproximada 0{,}95. (Também poderíamos dar a equação da elipse explicitamente usando T^{2}_{\text{crit}}, mas os intervalos simultâneos acima são a forma numérica prática.)

Resposta

a) Rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Estatística de teste T^{2}\approx 14{,}75 (equivalente a F\approx 7{,}22>F_{2,48,0{,}95}\approx 3{,}20).\n
b) Intervalos simultâneos de 95\% para as componentes de \mu: \mu_{1}\in(-0{,}748,\;0{,}348) e \mu_{2}\in(0{,}233,\;1{,}567).

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