Foi retirada uma amostra de 50 empresas pertencentes a um setor de atividade econômica em crise durante os últimos anos. Foram analisados os resultados de exploração dos últimos anos, tendo-se obtido as seguintes estimativas: X_{1} : resultado no ano de 2020. X_{2} : resultado no ano de 2021.
a) Pressupondo que as 50 empresas pertencem a uma população Normal com parâmetro \mu e \Sigma, teste a hipótese de que os resultados nos últimos dois anos foram nulas, ou seja, H_{0}: \mu=\mathbf{0}. ( \alpha=0.05 )
b) Construa o intervalo de confiança a 95 \% para o valor de médias \mu.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado\n
Pedidos:
Testar a hipótese H_{0}:\mu=\mathbf{0} versus H_{1}:\mu\neq\mathbf{0} com nível de significância \alpha=0{,}05.
Construir um intervalo de confiança de 95\% para o vetor de médias \mu.\n
Dados fornecidos (da amostra de n=50 empresas):\bar{X}=\begin{pmatrix}-0{,}2\\[4pt]0{,}9\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}2{,}3 & -1{,}8\\[4pt]-1{,}8 & 3{,}4\end{pmatrix}.
Observações importantes que vou usar depois: n=50, dimensão p=2. A matriz S é a matriz de covariância amostral (assumimos a forma usual com divisor n-1).\n
(Na próxima etapa eu inicio de fato a resolução: montar a estatística de teste, calcular, comparar com o valor crítico e depois construir o intervalo de confiança.)]
Passo 2
Formulação do teste (fórmula e interpretação didática)\n
Para testar H_{0}:\mu=\mu_{0} no caso multivariado com amostra de tamanho n e dimensão p, usamos a estatística de Hotelling
T^{2}=n(\bar{X}-\mu_{0})'S^{-1}(\bar{X}-\mu_{0}).
Aqui: \bar{X} é o vetor média amostral, S a matriz de covariância amostral, S^{-1} a sua inversa, e (\cdot)' denota transposta. A ideia intuitiva: T^{2} mede a distância quadrática entre a média amostral e o vetor hipótese \mu_{0}, escalada pela variabilidade e pelo tamanho da amostra.\n
Para decidir, relacionamos T^{2} com a distribuição F. A relação (quando S usa divisor n-1) é
\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^{2}\sim F_{p,n-p},
então o valor crítico para rejeitar ao nível \alpha é
O quantil crítico da F com (p,n-p)=(2,48) ao nível 1-\alpha=0{,}95 (tabela) é aproximadamente
F_{2,48,\,0{,}95}\approx 3{,}20.
Comparação: F_{\text{obs}}\approx 7{,}22 > 3{,}20. Assim rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Em termos da estatística T^{2}, o valor crítico correspondente seria
e T^{2}_{\text{obs}}\approx 14{,}75>6{,}53, mesma conclusão.\n
Interpretação curta e amiga: os resultados médios dos dois anos, tomados em conjunto, diferem significativamente de zero — ou seja, o vetor média não é compatível com o vetor nulo.
Passo 6
Construção do intervalo de confiança de 95\% para \mu (região elíptica e intervalos simultâneos)\n
A região de confiança multivariada (elipse) de 100(1-\alpha)\% é dada por
com T^{2}_{\text{crit}}=\dfrac{p(n-1)}{n-p}F_{p,n-p,\,1-\alpha} (já calculado aproximadamente acima).\n
Uma forma prática e frequentemente solicitada é fornecer intervalos simultâneos para cada componente de \mu que controlam o nível global 1-\alpha. Esses intervalos simultâneos são
\text{meia-amplitude}_1=\sqrt{c\cdot s_{11}}=\sqrt{0{,}130667\cdot 2{,}3}\approx \sqrt{0{,}300533}\approx 0{,}548.Assim o intervalo simultâneo para \mu_{1} é\bar{X}_{1}\pm 0{,}548 \Rightarrow -0{,}2\pm 0{,}548 = (-0{,}748,\;0{,}348).
Para j=2: s_{22}=3{,}4,
\text{meia-amplitude}_2=\sqrt{c\cdot s_{22}}=\sqrt{0{,}130667\cdot 3{,}4}\approx \sqrt{0{,}444267}\approx 0{,}667.Assim o intervalo simultâneo para \mu_{2} é\bar{X}_{2}\pm 0{,}667 \Rightarrow 0{,}9\pm 0{,}667 = (0{,}233,\;1{,}567).
Essas duas intervalos são simultâneos ao nível 95\%, i.e., o vetor \mu inteiro estará dentro da região elíptica com probabilidade aproximada 0{,}95. (Também poderíamos dar a equação da elipse explicitamente usando T^{2}_{\text{crit}}, mas os intervalos simultâneos acima são a forma numérica prática.)
Resposta
a) Rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Estatística de teste T^{2}\approx 14{,}75 (equivalente a F\approx 7{,}22>F_{2,48,0{,}95}\approx 3{,}20).\n
b) Intervalos simultâneos de 95\% para as componentes de \mu: \mu_{1}\in(-0{,}748,\;0{,}348) e \mu_{2}\in(0{,}233,\;1{,}567).