Q2: Considere A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ -2 & -3 & -4 \\\\ -1 & 0 & -4\end{array}\right]. Calcule B=A^{-1}. O valor de b_{11} é:
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\\\ -2 & -3 & -4 \\\\ -1 & 0 & -4\end{pmatrix}
e pede para calcular B=A^{-1}. A pergunta específica é: qual é o valor de b_{11}, ou seja, o elemento da primeira linha e primeira coluna de A^{-1}. Informações relevantes: temos todos os elementos de A explicitados; não há outras condições adicionais.

Passo 2

Plano e ideia principal (curta explicação didática): vamos usar o método de Gauss–Jordan com matriz aumentada. A ideia é formar a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a matriz identidade 3\times3, e aplicar operações elementares de linha até que a parte esquerda vire a identidade. As mesmas operações transformam a parte direita em A^{-1}. Cada operação de linha corresponde a multiplicar por uma matriz elementar (invertível), por isso o procedimento obtém de fato a inversa.
Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ -2 & -3 & -4 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Vou indicar operações de linha como R_i\leftarrow algo.

Passo 3

Primeiro objetivo: eliminar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (já temos pivô 1 em R_1). Aplicamos:
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Calculemos linha a linha:
Para R_2:
  • primeira coluna: -2+2\cdot1=0,
  • segunda coluna: -3+2\cdot2=1,
  • terceira coluna: -4+2\cdot1=-2,
  • parte aumentada: (0,1,0)+2(1,0,0)=(2,1,0).
Para R_3:
  • primeira coluna: -1+1=0,
  • segunda coluna: 0+2=2,
  • terceira coluna: -4+1=-3,
  • parte aumentada: (0,0,1)+(1,0,0)=(1,0,1).
A matriz aumentada fica então
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Agora eliminamos a entrada 2 em R_3 da segunda coluna usando R_2 (que tem pivô 1 em coluna 2). Fazemos:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Cálculo:
  • segunda coluna: 2-2\cdot1=0,
  • terceira coluna: -3-2\cdot(-2)=-3+4=1,
  • parte aumentada: (1,0,1)-2(2,1,0)=(1-4,\;0-2,\;1-0)=(-3,-2,1).
A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right]

Passo 5

Agora temos pivôs 1 em cada coluna (colunas 1,2,3 nas linhas 1,2,3). Seguimos eliminando acima dos pivôs da terceira coluna. Primeiro eliminar o -2 em R_2 (coluna 3):
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
Cálculo para R_2:
  • terceira coluna: -2+2\cdot1=0,
  • parte aumentada: (2,1,0)+2(-3,-2,1)=(2-6,\;1-4,\;0+2)=(-4,-3,2).
Em seguida eliminar o 1 em R_1 (coluna 3):
R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Cálculo para R_1:
  • terceira coluna: 1-1=0,
  • parte aumentada: (1,0,0)-(-3,-2,1)=(1+3,\;0+2,\;0-1)=(4,2,-1).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 4 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & -3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right]

Passo 6

Último passo: eliminar o 2 em R_1 (coluna 2) usando R_2. Fazemos:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo:
  • segunda coluna: 2-2\cdot1=0,
  • parte aumentada: (4,2,-1)-2(-4,-3,2)=(4+8,\;2+6,\;-1-4)=(12,8,-5).
Agora a matriz aumentada tem a identidade à esquerda e a inversa à direita:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 12 & 8 & -5 \\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & -3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right]
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} 12 & 8 & -5 \\\\ -4 & -3 & 2 \\\\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 7

Interpretação final e checagem (rápida): o elemento b_{11} é a primeira entrada da matriz inversa que encontramos, ou seja \,12. Como verificação rápida, a multiplicação da primeira linha de A pela primeira coluna de A^{-1} 1\cdot12+2\cdot(-4)+1\cdot(-3)=12-8-3=1, como esperado para o produto AB=I na posição (1,1).

Resposta

(B) 12

Exercícios relacionados