Q4: Calcule a matriz A_{2 \times 2} tal que \operatorname{Núcleo}(A)=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\} \quad e \quad A\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right].
Assinale abaixo o valor da entrada a_{12} :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede para achar uma matriz A_{2\times2} cujas informações são:
\operatorname{Núcleo}(A)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}ú. Ou seja, o vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} é um vetor não-nulo que é enviado para o vetor zero por A.
Multiplicar A por um vetor usa produto escalar das linhas de A com o vetor coluna. Por exemplo, A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y \\[4pt] a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}.]
Passo 3
Usamos a condição do núcleo: A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}. Isso gera duas equações (uma por linha):
a_{11}\cdot 1 + a_{12}\cdot 2 = 0,
a_{21}\cdot 1 + a_{22}\cdot 2 = 0.
Em forma mais simples:
a_{11}+2a_{12}=0,
a_{21}+2a_{22}=0.
Essas equações dizem que cada linha de A é ortogonal ao vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]
Passo 4
Usamos a segunda condição A\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Isso dá mais duas equações:
-3a_{11}-5a_{12}=1,
-3a_{21}-5a_{22}=1.
Agora temos um sistema linear de quatro equações para as quatro incógnitas a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}.]
Passo 5
Resolvo primeiro o par (a_{11},a_{12}). Da equação do núcleo temos
a_{11}=-2a_{12}.
Substituo na equação -3a_{11}-5a_{12}=1:
-3(-2a_{12})-5a_{12}=1.
Calculo passo a passo: -3(-2a_{12})=6a_{12}. Então
6a_{12}-5a_{12}=1,
(6-5)a_{12}=1,
a_{12}=1.
Com a_{12}=1, voltando em a_{11}=-2a_{12} obtemos
a_{11}=-2\cdot 1=-2.
Passo 6
Agora resolvo o par (a_{21},a_{22}). Da equação do núcleo: