Q3: Um determinado fenômeno físico é modelado pela função y=a x+b. Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:
x y
-2 -1
0 3
2 7
Calcule os coeficientes a e b de forma a obter o modelo que melhor aproxima os dados experimentais no sentido dos mínimos quadrados.
(A) a=-2
(B) a=-1
(C) a=1
(D) a=2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes da reta \;y=a x + b\; que melhor aproxima os dados experimentais pelo método dos mínimos quadrados. Pergunta-se explicitamente os valores de \;a\; e \;b\;.
Dados fornecidos (tirei-os da tabela do enunciado):
(-2,\,-1),\qquad (0,\,3),\qquad (2,\,7).
A tarefa é calcular \;a\; e \;b\; que minimizam a soma dos quadrados dos erros entre os valores observados y e os valores preditos \hat y = a x + b.

Passo 2

Ideia do método dos mínimos quadrados (explicação didática): queremos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. Definimos a função erro
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - a x_i - b\big)^2,
onde n é o número de pontos (aqui n=3), (x_i,y_i) são os dados. A razão de usar quadrados é penalizar desvios maiores e obter equações lineares para a e b.
Para minimizar S(a,b) tomamos derivadas parciais em relação a a e b e igualamos a zero (condições de ótimo):
\frac{\partial S}{\partial a}= -2\sum_{i=1}^{n} x_i\big(y_i - a x_i - b\big)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i=1}^{n} \big(y_i - a x_i - b\big)=0.
Essas duas equações são as equações normais do ajuste por mínimos quadrados.

Passo 3

Vamos escrever as equações normais de forma explícita. Expandindo e rearranjando obtemos:
\begin{cases} \displaystyle a\sum_{i=1}^{n} x_i^2 + b\sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i,\\[6pt] \displaystyle a\sum_{i=1}^{n} x_i + b\,n = \sum_{i=1}^{n} y_i. \end{cases}
Estas duas equações lineares permitem resolver a e b. Uma fórmula prática (deduzida das equações acima) para a é
\displaystyle a=\frac{n\sum x_i y_i - \big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)}{\,n\sum x_i^2 - \big(\sum x_i\big)^2\,},
e então
\displaystyle b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Aqui cada soma é tomada sobre os n pontos dados. Vou agora calcular todas as somas necessárias com os dados do problema.]

Passo 4

Calculemos as somas a partir dos pontos (-2,-1),\,(0,3),\,(2,7).
Número de pontos:
n=3.
Soma das abscissas:
\sum x_i = -2 + 0 + 2 = 0.
Soma das ordenadas:
\sum y_i = -1 + 3 + 7 = 9.
Soma dos quadrados das abscissas:
\sum x_i^2 = (-2)^2 + 0^2 + 2^2 = 4 + 0 + 4 = 8.
Soma dos produtos x_i y_i:
\sum x_i y_i = (-2)(-1) + 0\cdot 3 + 2\cdot 7 = 2 + 0 + 14 = 16.
Tenho agora todos os termos que entram nas fórmulas.

Passo 5

Calculemos a usando a fórmula:
\displaystyle a=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\,n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\,}.
Substituindo os valores calculados:
\displaystyle a=\frac{3\cdot 16 - (0)\cdot 9}{\,3\cdot 8 - 0^2\,} = \frac{48 - 0}{24 - 0} = \frac{48}{24} = 2.

Passo 6

Agora que encontramos \;a=2\;, calculamos \;b\; pela fórmula
\displaystyle b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Substituindo:
\displaystyle b=\frac{9 - 2\cdot 0}{3} = \frac{9}{3} = 3.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: a reta ajustada é \;y=2x+3\;. Podemos conferir avaliando nos pontos:
x=0\Rightarrow y=3\quad(\text{igual ao dado}),
x=2\Rightarrow y=2\cdot2+3=7\quad(\text{igual ao dado}),
x=-2\Rightarrow y=2\cdot(-2)+3=-4+3=-1\quad(\text{igual ao dado}).
Ou seja, os três pontos estão exatamente sobre a reta \;y=2x+3\;, portanto o ajuste por mínimos quadrados dá exatamente esses coeficientes.

Resposta

a=2
b=3

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