Q3: Um determinado fenômeno físico é modelado pela função y=a x+b. Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:
x
y
-2
-1
0
3
2
7
Calcule os coeficientes a e b de forma a obter o modelo que melhor aproxima os dados experimentais no sentido dos mínimos quadrados.
(A) a=-2
(B) a=-1
(C) a=1
(D) a=2
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os coeficientes da reta \;y=a x + b\; que melhor aproxima os dados experimentais pelo método dos mínimos quadrados. Pergunta-se explicitamente os valores de \;a\; e \;b\;.
Dados fornecidos (tirei-os da tabela do enunciado):
(-2,\,-1),\qquad (0,\,3),\qquad (2,\,7).
A tarefa é calcular \;a\; e \;b\; que minimizam a soma dos quadrados dos erros entre os valores observados y e os valores preditos \hat y = a x + b.
Passo 2
Ideia do método dos mínimos quadrados (explicação didática): queremos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. Definimos a função erro
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - a x_i - b\big)^2,
onde n é o número de pontos (aqui n=3), (x_i,y_i) são os dados. A razão de usar quadrados é penalizar desvios maiores e obter equações lineares para a e b.
Para minimizar S(a,b) tomamos derivadas parciais em relação a a e b e igualamos a zero (condições de ótimo):
\frac{\partial S}{\partial a}= -2\sum_{i=1}^{n} x_i\big(y_i - a x_i - b\big)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i=1}^{n} \big(y_i - a x_i - b\big)=0.
Essas duas equações são as equações normais do ajuste por mínimos quadrados.
Passo 3
Vamos escrever as equações normais de forma explícita. Expandindo e rearranjando obtemos: