Considere: [\mathrm{f}(\mathrm{x})= modulo (1-\mathrm{x})]
  • Escreva explicitamente o limite pela definição
  • Calcule os limites laterais
Insight: a função é contínua, mas o limite não é único.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por "módulo 1-x". Vou interpretar isso como a parte fracionária (resto módulo 1) de 1-x, isto é a função
f(x)=\{\,1-x\,\},
onde \{t\}=t-\lfloor t\rfloor é a parte fracionária de t (valor sempre em [0,1)). O que é pedido:
  • Escrever explicitamente o limite pela definição (a definição \varepsilon- \delta do limite).
  • Calcular os limites laterais \displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x).
Informações relevantes que temos (retiradas da definição da função \{\,\cdot\,\}):
  • Para t com 0\le t<1 vale \{t\}=t.
  • Para t com -1<t<0 vale \{t\}=t-(-1)=1+t.
  • Em particular, para x próximo de 1:
    • Se x<1 e 1-x\in(0,1) então f(x)=\{1-x\}=1-x.
    • Se x>1 e 1-x\in(-1,0) então f(x)=\{1-x\}=1+(1-x)=2-x.
  • O valor da função em x=1 é f(1)=\{0\}=0.

Passo 2

Escrever explicitamente o limite pela definição (duas formas: limite bilateral e limites laterais).
Definição (limite bilateral): dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Definição (limite pela esquerda): dizemos que
\lim_{x\to a^-} f(x)=L_-
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<a-x<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L_-|<\varepsilon.
Definição (limite pela direita): dizemos que
\lim_{x\to a^+} f(x)=L_+
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<x-a<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L_+|<\varepsilon.
(Isto é o que significa “escrever explicitamente o limite pela definição”: apresentar estas implicações \varepsilon- \delta.)

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x).
Para x<1 suficientemente próximo de 1 temos 0<1-x<1, então pela observação do Passo 1
f(x)=\{1-x\}=1-x.
Queremos mostrar que o limite à esquerda é 0. Tome qualquer \varepsilon>0. Escolha
\delta=\min\{1,\varepsilon\}.
Se 0<1-x<\delta (que é exatamente a condição 0<1-x<\delta, i.e. x\in(1-\delta,1)), então
|f(x)-0|=|1-x-0|=1-x<\delta\le\varepsilon.
Assim, pela definição de limite pela esquerda, \displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x)=0.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x).
Para x>1 suficientemente próximo de 1 (especificamente 1<x<2) temos 1-x\in(-1,0) e então
f(x)=\{1-x\}=1+(1-x)=2-x.
Queremos mostrar que o limite à direita é 1. Tome qualquer \varepsilon>0. Escolha
\delta=\min\{1,\varepsilon\}.
Se 0<x-1<\delta (i.e. x\in(1,1+\delta)), então
|f(x)-1|=|2-x-1|=|1-x|=x-1<\delta\le\varepsilon.
Pela definição de limite pela direita, segue que \displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x)=1.

Passo 5

Conclusão sobre existência do limite bilateral em x=1:
Como \displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x)=1 são diferentes, o limite bilateral
\displaystyle\lim_{x\to1} f(x) NÃO existe. Observação adicional: o valor da função em 1 é f(1)=0, logo a função coincide com o limite pela esquerda mas tem salto pela direita.
Exemplo numérico rápido para intuição: x=0{,}9\Rightarrow f(x)=0{,}1 (próximo de 0); x=1{,}1\Rightarrow f(x)=0{,}9 (próximo de 1) — por isso as duas vizinhanças oferecem valores limites distintos.

Resposta

Definição por \varepsilon- \delta:
\lim_{x\to1}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow\quad\forall\varepsilon>0\\ \exists\delta>0:\\\ 0<|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.
\lim_{x\to1^-}f(x)=0
\lim_{x\to1^+}f(x)=1
\lim_{x\to1}f(x)\\ \text{não existe}ã

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