Considere:
modulo
- Escreva explicitamente o limite pela definição
- Calcule os limites laterais
Insight: a função é contínua, mas o limite não é único.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por "módulo
". Vou interpretar isso como a parte fracionária (resto módulo
) de
, isto é a função
onde
é a parte fracionária de
(valor sempre em
). O que é pedido:
- Escrever explicitamente o limite pela definição (a definição
- do limite). - Calcular os limites laterais
e .
Informações relevantes que temos (retiradas da definição da função
):
- Para
com vale . - Para
com vale . - Em particular, para
próximo de : - Se
e então . - Se
e então .
- Se
- O valor da função em
é .
Passo 2
Escrever explicitamente o limite pela definição (duas formas: limite bilateral e limites laterais).
Definição (limite bilateral): dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que
Definição (limite pela esquerda): dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que
Definição (limite pela direita): dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que
(Isto é o que significa “escrever explicitamente o limite pela definição”: apresentar estas implicações
-
.)
Passo 3
Vamos calcular
.
Para
suficientemente próximo de
temos
, então pela observação do Passo 1
Queremos mostrar que o limite à esquerda é
. Tome qualquer
. Escolha
Se
(que é exatamente a condição
, i.e.
), então
Assim, pela definição de limite pela esquerda,
.
Passo 4
Agora calculemos
.
Para
suficientemente próximo de
(especificamente
) temos
e então
Queremos mostrar que o limite à direita é
. Tome qualquer
. Escolha
Se
(i.e.
), então
Pela definição de limite pela direita, segue que
.
Passo 5
Conclusão sobre existência do limite bilateral em
:
Como
e
são diferentes, o limite bilateral
NÃO existe. Observação adicional: o valor da função em
é
, logo a função coincide com o limite pela esquerda mas tem salto pela direita.
Exemplo numérico rápido para intuição:
(próximo de
);
(próximo de
) — por isso as duas vizinhanças oferecem valores limites distintos.
Resposta
Definição por
-
: