Dica: duas aproximações concorrentes — qual domina?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão cujo numerador e denominador tendem a
quando (ou seja, é uma forma indeterminada ). - A dica diz: “duas aproximações concorrentes — qual domina?” — isto sugere comparar as expansões (aproximações) de
e próximas de e ver qual termo de menor ordem não se cancela.
Passo 2
Vamos lembrar como obter aproximações próximas de
(polinômios de Taylor / Maclaurin). A ideia: uma função
suficientemente diferenciável tem expansão
onde
é a
-ésima derivada de
em
. Essas parcelas mostram a “ordem” dos termos: termo em
é maior que termo em
quando
é pequeno, e assim por diante. Vamos calcular as expansões de
e
até ordem
.
Passo 3
Expansão de
por Maclaurin (usar derivadas em
):
-
. -
. -
. -
. -
.
Aplicando a fórmula:
ou seja
Aqui
significa termos que, divididos por
, vão a
quando
.
Passo 4
Expansão de
(série conhecida):
Note que não há termo em
na expansão de
: o próximo termo depois de
é de ordem
.
Passo 5
Subtrair as duas expansões para obter o numerador:
Os termos em
cancelam (
). Agrupando:
Calcule
, então
Observação didática: apesar de ambos terem termo linear
, eles se cancelaram, então o termo de menor ordem que fica é o termo em
(proveniente de
). Esse termo de ordem
domina o numerador quando
.
Passo 6
Dividindo pelo
pedido no limite:
Como
, o termo
e
. Assim o limite é
Passo 7
(Vou mostrar uma alternativa rápida usando L’Hôpital — é útil na prova se não quiser mexer com séries.)
A forma é , então aplica-se L’Hôpital: derivar numerador e denominador.
Primeira derivada:
A forma é
Primeira derivada:
No ponto
ainda temos
. Aplica-se L’Hôpital de novo:
segunda derivada do numerador:
segunda derivada do numerador:
segunda derivada do denominador:
Avalia em
:
Logo pelo Teorema de L’Hôpital a razão das derivadas ao quadrado tende a
. Portanto o limite é
, confirmando o resultado por séries.