\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\sin x}{x^{2}}\right]
Dica: duas aproximações concorrentes — qual domina?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)-\sin x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão cujo numerador e denominador tendem a 0 quando x\to 0 (ou seja, é uma forma indeterminada 0/0).
  • A dica diz: “duas aproximações concorrentes — qual domina?” — isto sugere comparar as expansões (aproximações) de \ln(1+x) e \sin x próximas de 0 e ver qual termo de menor ordem não se cancela.

Passo 2

Vamos lembrar como obter aproximações próximas de x=0 (polinômios de Taylor / Maclaurin). A ideia: uma função f suficientemente diferenciável tem expansão
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{6}x^{3}+\cdots,
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f em 0. Essas parcelas mostram a “ordem” dos termos: termo em x é maior que termo em x^{2} quando x é pequeno, e assim por diante. Vamos calcular as expansões de \ln(1+x) e \sin x até ordem x^{3}.

Passo 3

Expansão de \ln(1+x) por Maclaurin (usar derivadas em 0):
  • f(x)=\ln(1+x).
  • f(0)=0.
  • f'(x)=\dfrac{1}{1+x}\Rightarrow f'(0)=1.
  • f''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^{2}}\Rightarrow f''(0)=-1.
  • f^{(3)}(x)=\dfrac{2}{(1+x)^{3}}\Rightarrow f^{(3)}(0)=2.
Aplicando a fórmula:
\ln(1+x)=0+1\cdot x+\frac{-1}{2}x^{2}+\frac{2}{6}x^{3}+o(x^{3})
ou seja
\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3}).
Aqui o(x^{3}) significa termos que, divididos por x^{3}, vão a 0 quando x\to0.

Passo 4

Expansão de \sin x (série conhecida):
\sin x = x - \frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3}).
Note que não há termo em x^{2} na expansão de \sin x: o próximo termo depois de x é de ordem x^{3}.

Passo 5

Subtrair as duas expansões para obter o numerador:
\ln(1+x)-\sin x = \left(x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\right)-\left(x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\right).
Os termos em x cancelam ( x-x=0). Agrupando:
\ln(1+x)-\sin x = -\frac{1}{2}x^{2} +\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)x^{3} + o(x^{3}).
Calcule \frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}, então
\ln(1+x)-\sin x = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x^{3} + o(x^{3}).
Observação didática: apesar de ambos terem termo linear x, eles se cancelaram, então o termo de menor ordem que fica é o termo em x^{2} (proveniente de \ln(1+x)). Esse termo de ordem x^{2} domina o numerador quando x\to0.

Passo 6

Dividindo pelo x^{2} pedido no limite:
\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x^{2}} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}x + \frac{o(x^{3})}{x^{2}}.
Como x\to0, o termo \frac{1}{2}x\to 0 e \dfrac{o(x^{3})}{x^{2}}=o(x)\to 0. Assim o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x^{2}} = -\frac{1}{2}.

Passo 7

(Vou mostrar uma alternativa rápida usando L’Hôpital — é útil na prova se não quiser mexer com séries.)
A forma é 0/0, então aplica-se L’Hôpital: derivar numerador e denominador.
Primeira derivada:
\frac{d}{dx}\big(\ln(1+x)-\sin x\big)=\frac{1}{1+x}-\cos x,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
No ponto 0 ainda temos 0/0. Aplica-se L’Hôpital de novo:
segunda derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{1+x}-\cos x\right)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}+\sin x,
segunda derivada do denominador:
\frac{d}{dx}(2x)=2.
Avalia em x=0:
-\frac{1}{(1+0)^{2}}+\sin 0 = -1+0=-1.
Logo pelo Teorema de L’Hôpital a razão das derivadas ao quadrado tende a -1/2. Portanto o limite é -\tfrac{1}{2}, confirmando o resultado por séries.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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