Sejam a e b constantes positivas com a>b e suponha que a superfície S é descrita paramétrica e vetorialmente por:
barr=(a+b sin u)(cos v) i+(a+b sin u)(sin v) j+(b cos u) k
para (u, v) na região retangular D: 0 <= u <= 2 pi, 0 <= v <= 2 pi no plano u v. Calcule a área da superfície S. ( 2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma superfície $ S $ que está descrita por uma equação paramétrica com duas variáveis, $ u $ e $ v $. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar para achar a área de uma superfície parametrizada. Se temos uma superfície descrita por $ \vec{r}(u, v) $, a área $ A $ dela é dada por:
r(u, v)
Aqui, $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $ são as derivadas parciais de $ \vec{r} $ em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente, e $ \times $ representa o produto vetorial. O símbolo $ \left| \cdot \right| $ indica a magnitude do vetor resultante.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $. Dada a parametrização:
ru
Calculando $ \vec{r}_u $:
rv
Calculando $ \vec{r}_v $:
r = (a + b sin u) cos v , i + (a + b sin u) sin v , j + b cos u , k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{r}_u \times \vec{r}_v $. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} $ e $ \vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k} $ é:
ru times rv
Aplicando isso às nossas derivadas:
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
A times B = (Ay Bz - Az By) i - (Ax Bz - Az Bx) j + (Ax By - Ay Bx) k
Simplificando cada componente:
ru times rv = ( b cos u sin v cdot 0 - (-b sin u) (a + b sin u) cos v ) i

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor para calcular a área. A magnitude de $ \vec{r}_u \times \vec{r}_v $ é:
ru times rv
Fatorando termos comuns:
| ru times rv | = raiz ( b sin u (a + b sin u) cos v )^2 + ( b sin u (a + b sin u) sin v )^2 + ( b (a + b sin u) cos u )^2
Como $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1 $:
| ru times rv | = b (a + b sin u) raiz sin^2 u (cos^2 v + sin^2 v) + cos^2 u

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão sobre a região $ D: 0 \leq u \leq 2\pi, \ 0 \leq v \leq 2\pi $:
D: 0 <= u <= 2pi, 0 <= v <= 2pi
Primeiro, integramos em relação a $ v $:
A = integral0^2pi integral0^2pi b (a + b sin u) , dv , du
Agora, integramos em relação a $ u $:
v
Sabendo que $ \cos 2\pi = \cos 0 = 1 $:
A = integral0^2pi b (a + b sin u) cdot [ v ]0^2pi , du = integral0^2pi b (a + b sin u) cdot 2pi , du = 2pi b integral0^2pi (a + b sin u) , du

Resposta

A área da superfície $ S $ é $ 4 \pi^2 a b $.

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