Sejam
e
constantes positivas com
e suponha que a superfície
é descrita paramétrica e vetorialmente por:
para
na região retangular
no plano
. Calcule a área da superfície
. ( 2,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma superfície $ S $ que está descrita por uma equação paramétrica com duas variáveis, $ u $ e $ v $. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o produto vetorial para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar para achar a área de uma superfície parametrizada. Se temos uma superfície descrita por $ \vec{r}(u, v) $, a área $ A $ dela é dada por:
Aqui, $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $ são as derivadas parciais de $ \vec{r} $ em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente, e $ \times $ representa o produto vetorial. O símbolo $ \left| \cdot \right| $ indica a magnitude do vetor resultante.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais $ \vec{r}_u $ e $ \vec{r}_v $. Dada a parametrização:
Calculando $ \vec{r}_u $:
Calculando $ \vec{r}_v $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{r}_u \times \vec{r}_v $. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} $ e $ \vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k} $ é:
Aplicando isso às nossas derivadas:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor para calcular a área. A magnitude de $ \vec{r}_u \times \vec{r}_v $ é:
Fatorando termos comuns:
Como $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1 $:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão sobre a região $ D: 0 \leq u \leq 2\pi, \ 0 \leq v \leq 2\pi $:
Primeiro, integramos em relação a $ v $:
Agora, integramos em relação a $ u $:
Sabendo que $ \cos 2\pi = \cos 0 = 1 $:
Resposta
A área da superfície $ S $ é $ 4 \pi^2 a b $.