Considere uma linha de transmissão coaxial. O raio do condutor interno é de 2 cm . Os raios do condutor externo valem respectivamente 10 e 11 cm . O meio que separa os dois condutores é constituído por duas camadas dielétricas delimitadas no raio de 6 cm . A rigidez dielétrica do meio mais interno vale 20 MV / m e sua constante dielétrica vale 6. Para o dielétrico mais externo, os valores são 5 MV / m e 8 , respectivamente.
Determine a tensão máxima suportada pela linha de transmissão.

Passo 1

Beleza, temos uma linha coaxial formada por um condutor interno de raio cm e um externo cujo espaço interno vai de 10 cm a 11 cm. Entre eles existem duas camadas dielétricas:
  • Região 1, de cm até cm, com constante dielétrica e rigidez dielétrica MV/m;
  • Região 2, de cm até cm, com e MV/m.
O que cai aqui é teoria de campo em um cabo coaxial multicamadas: a gente vai usar a relação entre a tensão aplicada, o campo resultante e a rigidez de cada dielétrico para achar a máxima tensão que não dá breakdown.

Passo 2

Primeiro, lembra que no coaxial o campo elétrico em uma região Ei(r) ;=;Q2pi,varepsilon0,varepsilonri,L;1r (com constante V ;=;integrala^6,cm !!E1,dr;+;integral6,cm^10,cm!!E2,dr ) varia como
V ;=;Q2pi,Lgl[1varepsilon0varepsilonr1ln!62 +1varepsilon0varepsilonr2ln!106gr]
onde é a carga por comprimento . E a tensão total é a integral de passando por cada camada:
Isso dá

Passo 3

Vamos isolar Q2pi L =;V;g/l[tfrac1varepsilon0varepsilonr1ln!tfrac62 +tfrac1varepsilon0varepsilonr2ln!tfrac106r] :
E1(a)<= Emax1, E2(6cm)<= Emax2
Agora a rigidez de cada dielétrico manda que
Como e , a gente substitui em cada e acha duas condições em .

Passo 4

Fazendo as contas direitinho (com V<= V1max =Emax1,al[lntfrac62+tfracvarepsilonr1varepsilonr2lntfrac106r] e V<= V2max =Emax2,r2l[tfracvarepsilonr2varepsilonr1lntfrac62+lntfrac106r] m, V1maxapprox592,7 kV, V2maxapprox592,7 kV m, constantes e
), chegam-se a:
Numericamente cada um dá

Resposta

A máxima tensão que a linha suporta antes de romper é
boxedVmaxapprox5,93times10^5 V = 593 kV

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