Considere uma linha de transmissão de impedância característica Z0=75 Omega e fator de velocidade F V =50 %. Em uma medida experimental, um gerador de sinais de impedância interna de 75 Omega, com amplitude de pico de 5 V e operando em regime senoidal na frequência f é conectado na entrada dessa linha, que tem sua terminaçao curto-circuitada. Medindo-se a tensão na entrada da linha em função da frequência f do gerador observa-se que os máximos de tensão ocorrem nas frequências f=500 MHz, 1500 MHz e assim sucessivamente, enquanto que os mínimos são observados em 1000 MHz, 2000 MHz, etc. Determine:
a) O valor de beta e o comprimento de onda lambda nessa linha para as frequências f=500,1000 e 1500 MHz.
b) O coeficiente de reflexão Gamma0 em z=0 e também na carga GammaL para a frequência de 500 MHz .
c) O comprimento físico l da linha de transmissão.

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo envolvido: temos uma linha de transmissão com impedância característica Z0 = 75,Omega e fator de velocidade FV=50%, terminada em curto ( ZL=0). Um gerador de 75,Omega aplica sinais senoidais de amplitude de pico 5 V, e medimos a tensão de entrada versus frequência. Observamos máximos em f=500,1500,dots MHz e mínimos em f=1000,2000,dots MHz. Vamos usar teoria de propagação em linhas ( beta,lambda) e coeficientes de reflexão para resolver.

Passo 2

Velocidade de propagação na linha: o fator de velocidade é FV=v/c=0.5, onde c=3times10^8,m/s. Logo
v = 0.5,c = 0.5times3times10^8 = 1,5times10^8,m/s,

Passo 3

Relações entre comprimento de onda, constante de fase e frequência: vale
lambda = vf, beta = 2pilambda,

Passo 4

Cálculo de lambda e beta para cada frequência:
Para f=500,MHz:
lambda500 = 1,5times10^85times10^8 = 0,30,m, beta500 = 2pi0,30 approx 20,94,rad/m.
Para f=1000,MHz:
lambda1000 = 1,5times10^81times10^9 = 0,15,m, beta1000 = 2pi0,15 approx 41,89,rad/m.
Para f=1500,MHz:
lambda1500 = 1,5times10^81,5times10^9 = 0,10,m, beta1500 = 2pi0,10 approx 62,83,rad/m.

Passo 5

Determinação do comprimento físico da linha l: como a terminação é curto, a impedância de entrada é infinita (máximo de tensão) quando
beta,l = pi2 + npi.
No primeiro máximo ocorre em f=500,MHz com n=0, logo beta500l=pi/2. Assim
l = pi/2beta500 = pi/220,94 approx 0,075,m.
Isso coincide com o mínimo em f=1000,MHz ( beta1000l=pi).

Passo 6

Cálculo dos coeficientes de reflexão na carga e na entrada para f=500,MHz:
Na carga curta ZL=0,
GammaL = ZL - Z0ZL + Z0 = 0 - 750 + 75 = -1.
No ponto de entrada ( z=0)
Gamma(0) = GammaL,e^-2jbeta500l

Passo 7

Como beta500l = pi/2, temos
e^-2j(pi/2) = e^-jpi = -1,
logo
Gamma(0) = (-1)times(-1) = +1

Resposta

a) Para 500 MHz: lambda=0,30 m e beta=20,94 rad/m; para 1000 MHz: lambda=0,15 m e beta=41,89 rad/m; para 1500 MHz: lambda=0,10 m e beta=62,83 rad/m.
b) GammaL=-1 e Gamma(0)=+1 em z=0 para 500 MHz.
c) Comprimento da linha l=0,075 m.

Exercícios relacionados