Um transmissor com impedância interna de 50 ohms e operando na frequência de 13,56 MHz é conectado a uma carga ZL através de um cabo coaxial de impedância característica Z0=50 ohms, índice de refração do dielétrico que preenche-o internamente de valor varepsilonr=1,5. A onda de tensão resultante no cabo é dada por:
V(z, t)=10 e^i(omega t-beta z)-(3+4 i) e^i(omega t+beta z) [ vo
Por simplicidade vamos desprezar a atenuação no cabo. Determine:
a) O valor de beta e o comprimento de onda lambda nesse guia coaxial.
b) A onda de corrente I(z, t) no guia.
c) O coeficiente de reflexão Gamma0 em z=0, na forma módulo e fase.
d) A impedância de carga ZL, se o cabo coaxial tem um comprimento l=lambda / 3 na frequência de
operação.

Passo 1

O enunciado trata de uma linha de transmissão coaxial de impedância característica Z0=50,Omega preenchida por dielétrico com varepsilonr=1,5 e operando em f=13,56,MHz. A tensão ao longo do eixo z é dada por V(z,t)=10e^i(omega t-beta z)-(3+4i)e^i(omega t+beta z). Precisamos usar conceitos de onda viajante em linha de transmissão: relação entre beta e comprimento de onda lambda, expressão da onda de corrente, coeficiente de reflexão e transformação de impedância.

Passo 2

Para achar beta e lambda no guia, calculamos primeiro o comprimento de onda no vácuo lambda0=c/f e depois ajustamos pelo dielétrico:
lambda0=cf=3times10^813,56times10^6approx22,12,m
lambda=lambda0raizvarepsilonr=22,12raiz1,5approx18,07,m
beta=2pilambdaapprox2pi18,07approx0,3477,rad/m

Passo 3

A onda de corrente em uma linha sem perdas vem de
I(z,t)=V+Z0e^i(omega t-beta z)-V-Z0e^i(omega t+beta z)
Aqui V+=10 e V-=-(3+4i), logo
I(z,t)=1050e^i(omega t-beta z)--(3+4i)50e^i(omega t+beta z)=0,2e^i(omega t-beta z)+3+4i50e^i(omega t+beta z) [amperes]

Passo 4

O coeficiente de reflexão em z=0 é
Gamma0=V-(0)V+(0)=-(3+4i)10=-(0,3+0,4i)
Módulo e fase:
|Gamma0|=raiz0,3^2+0,4^2=0,5
ang<=Gamma0=arg[-(0,3+0,4i)]=arg(0,3+0,4i)+180^circapprox53,13^circ+180^circ=233,13^circ

Passo 5

Para achar ZL sabemos que a linha tem comprimento l=lambda/3 e que
Gammain(z=0)=Gamma0=GammaL e^-2ibeta l
Logo
GammaL=Gamma0 e^2ibeta l
Como beta l=2pi/lambdatimeslambda/3=2pi/3, temos
e^2ibeta l=e^i4pi/3=-tfrac12- itfracraiz32
GammaL=-(0,3+0,4i),(-tfrac12- itfracraiz32)= -0,1964+0,4598i
Por fim,
ZL=Z01+GammaL1-GammaL=500,8036+0,4598i1,1964-0,4598iapprox22,8+28,0,Omega

Resposta

(a) betaapprox0,3477,rad/m, lambdaapprox18,07,m. (b) I(z,t)=0,2e^i(omega t-beta z)+tfrac3+4i50e^i(omega t+beta z). © |Gamma0|=0,5, ang<=Gamma0approx233,13^circ. (d) ZLapprox22,8+28,0,Omega.

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