Os campos eletromagnéticos
e
, denominados intensidade de campo elétrico e vetor densidade de fluxo magnetico, respectivamente, podem ser calculados no regime variante no tempo através dos chamados potenciais eletromagnéticos
(chamado de potencial escalar elétrico) e
(vetor potencial magnético). A relação entre os campos e os potenciais é dada abaixo:
(a) Sabendo-se que a unidade de campo elétrico é o
no sistema internacional, faça a análise dimensional e determine as unidades de
e
. Determine então a relação entre o tesla [T], que é a unidade de medida do vetor densidade de fluxo campo magnético
, e as unidades de
.
(b) Calcule o rotacional de
e relacione-o ao campo
e/ou suas derivadas.
© Considere uma forma específica para os potenciais
e
em certa região do espaço, dados abaixo:
onde
é o tempo medido em segundos e
são as coordenadas medidas em metros, enquanto os potenciais são medidos nas unidades determinadas no item (a), no SI. Determine o campo elétrico
e o campo magnético
.
(b) Calcule o rotacional de
© Considere uma forma específica para os potenciais
Passo 1
O problema trata dos campos eletromagnéticos no regime dependente do tempo, usando os potenciais
(escalar) e
(vetor), com as definições
e
. Vamos precisar de análise dimensional, propriedades de derivadas vetoriais e cálculo de gradiente e rotacional.
Passo 2
Análise dimensional de
: o termo
tem unidade
e deve dar
, logo
. O termo
tem unidade
e deve dar
, logo
. Como
tem unidade
, segue
e portanto
.
Passo 3
Para o rotacional de
usamos
Como
e podemos trocar derivada temporal com rotacional, obtemos
Passo 4
Com os potenciais dados, primeiro calculamos o gradiente de
:
Logo
A derivada temporal de
é
e portanto
Somando, obtemos
Passo 5
Para
usamos as componentes de
:
($\nabla\times\mathbf{A}$)_x=0, ($\nabla\times\mathbf{A}$)_y=0,
($\nabla\times\mathbf{A}$)_x=0, ($\nabla\times\mathbf{A}$)_y=0,
Logo
Resposta
(a)
, com 1,T=1,V·s/m^2.
(b)
© V/m e
T.
(b)
©