Os campos eletromagnéticos E e B, denominados intensidade de campo elétrico e vetor densidade de fluxo magnetico, respectivamente, podem ser calculados no regime variante no tempo através dos chamados potenciais eletromagnéticos phi (chamado de potencial escalar elétrico) e A (vetor potencial magnético). A relação entre os campos e os potenciais é dada abaixo:
& E=-nabla phi-partial Apartial t & B=nabla times A
(a) Sabendo-se que a unidade de campo elétrico é o [V / m] no sistema internacional, faça a análise dimensional e determine as unidades de phi e A. Determine então a relação entre o tesla [T], que é a unidade de medida do vetor densidade de fluxo campo magnético B, e as unidades de A.
(b) Calcule o rotacional de E e relacione-o ao campo B e/ou suas derivadas.
© Considere uma forma específica para os potenciais phi e A em certa região do espaço, dados abaixo:
phi(x, y, z, t) & =-100 x+100 y A(x, y, z, t) & =y ax-x ay-200 t az
onde t é o tempo medido em segundos e (x, y, z) são as coordenadas medidas em metros, enquanto os potenciais são medidos nas unidades determinadas no item (a), no SI. Determine o campo elétrico E e o campo magnético B.

Passo 1

O problema trata dos campos eletromagnéticos no regime dependente do tempo, usando os potenciais phi (escalar) e A (vetor), com as definições E=-nablaphi-partialA/partial t e B=nablatimesA. Vamos precisar de análise dimensional, propriedades de derivadas vetoriais e cálculo de gradiente e rotacional.

Passo 2

Análise dimensional de E=-nablaphi-partialA/partial t: o termo nablaphi tem unidade [phi]/m e deve dar V/m, logo [phi]=V. O termo partialA/partial t tem unidade [A]/s e deve dar V/m, logo [A]=V,s/m. Como B=nablatimesA tem unidade [A]/m=V,s/m^2, segue 1,T=1,V,s/m^2 e portanto [A]=1,Tcdotm.

Passo 3

Para o rotacional de E usamos
nablatimesE=nablatimesl(-nablaphir)-nablatimespartialApartial t
Como nablatimes(nablaphi)=0 e podemos trocar derivada temporal com rotacional, obtemos
nablatimesE=-partialpartial t(nablatimesA)=-partialBpartial t

Passo 4

Com os potenciais dados, primeiro calculamos o gradiente de phi=-100x+100y:
nablaphi=(-100),ax+(100),ay+0,az
Logo
-nablaphi=100,ax-100,ay
A derivada temporal de A=y,ax -x,ay -200t,az é
partialApartial t=-200,az
e portanto
-partialApartial t=200,az
Somando, obtemos
E=100,ax-100,ay+200,az(V/m)

Passo 5

Para B=nablatimesA usamos as componentes de A:
($\nabla\times\mathbf{A}$)_x=0, ($\nabla\times\mathbf{A}$)_y=0,
nablatimesA
Logo
nablatimesA

Resposta

(a) [phi]=V,;[A]=V,s/m=T,m, com 1,T=1,V·s/m^2.
(b) nablatimesE=-partialB/partial t
© E=100,ax-100,ay+200,az V/m e B=-2,az T.

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