Da expressão
\alpha+i \beta \equiv \sqrt{\left(R_{l}+i \omega L_{l}\right)\left(G_{l}+i \omega C_{l}\right)}
mostre que no regime de pequenas perdas ( R_{l} \ll \omega L_{l} e G_{l} \ll \omega C_{l} ) obtém-se em primeira ordem:
\alpha=\frac{R_{l}}{2 Z_{c 0}}+\frac{Z_{c 0} G_{l}}{2} e \beta=\omega \sqrt{L_{l} C_{l}}
\operatorname{com} Z_{c 0}=\sqrt{\frac{L_{l}}{C_{l}}}

Passo 1

O enunciado dá a constante de propagação
\alpha + i\beta = \sqrt{\bigl(R_{l} + i\,\omega L_{l}\bigr)\,\bigl(G_{l} + i\,\omega C_{l}\bigr)}
e pede, no regime de pequenas perdas ( R_{l}\ll\omega L_{l}, G_{l}\ll\omega C_{l}), a aproximação de primeira ordem
\alpha=\frac{R_{l}}{2Z_{c0}}+\frac{Z_{c0}G_{l}}{2} \quad,\quad \beta=\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}
com Z_{c0}=\sqrt{\tfrac{L_{l}}{C_{l}}}.
Vamos usar a expansão de Taylor de \sqrt{a+\delta}\approx\sqrt{a}+\tfrac{\delta}{2\sqrt{a}} para \delta pequeno.

Passo 2

Calculemos o produto
\bigl(R_{l}+i\omega L_{l}\bigr)\,\bigl(G_{l}+i\omega C_{l}\bigr) =R_{l}G_{l}-\omega^{2}L_{l}C_{l} +i\,\omega\bigl(R_{l}C_{l}+G_{l}L_{l}\bigr).
Aqui o termo dominante é
a = -\omega^{2}L_{l}C_{l},
e a pequena perturbação
\delta = R_{l}G_{l} +i\,\omega\bigl(R_{l}C_{l}+G_{l}L_{l}\bigr).

Passo 3

Aplicando
\sqrt{a+\delta}\approx\sqrt{a}+\frac{\delta}{2\sqrt{a}}
com \sqrt{a}=\sqrt{-\omega^{2}L_{l}C_{l}}=i\,\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}, obtemos
\alpha + i\beta \approx i\,\omega\sqrt{L_{l}C_{l}} +\frac{R_{l}G_{l}+i\,\omega(R_{l}C_{l}+G_{l}L_{l})} {2\,i\,\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}}.

Passo 4

Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{2\,i\,\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}} \bigl(R_{l}G_{l}+i\,\omega(R_{l}C_{l}+G_{l}L_{l})\bigr) =-\,i\,\frac{R_{l}G_{l}}{2\,\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}} +\frac{R_{l}C_{l}+G_{l}L_{l}}{2\sqrt{L_{l}C_{l}}}.
Logo
\alpha =\frac{R_{l}C_{l}+G_{l}L_{l}}{2\sqrt{L_{l}C_{l}}}, \qquad \beta =\omega\sqrt{L_{l}C_{l}} -\frac{R_{l}G_{l}}{2\,\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}}.
Como R_{l}G_{l} é de segunda ordem em pequenas perdas, desprezamos o último termo em \beta.

Passo 5

Usando Z_{c0}=\sqrt{\tfrac{L_{l}}{C_{l}}} temos
\frac{R_{l}C_{l}}{\sqrt{L_{l}C_{l}}} =\frac{R_{l}}{\sqrt{L_{l}/C_{l}}} =\frac{R_{l}}{Z_{c0}}, \quad \frac{G_{l}L_{l}}{\sqrt{L_{l}C_{l}}} =G_{l}\,\sqrt{\frac{L_{l}}{C_{l}}} =G_{l}\,Z_{c0}.
Portanto
\alpha=\frac{R_{l}}{2Z_{c0}}+\frac{Z_{c0}G_{l}}{2}, \qquad \beta=\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}.

Resposta

\displaystyle\alpha=\frac{R_{l}}{2Z_{c0}}+\frac{Z_{c0}G_{l}}{2},\quad \beta=\omega\sqrt{L_{l}C_{l}}.

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