Considere o sistema de equações diferenciais:
l ddotx=-km x+km(y-x) ddoty=-km(y-x)+-km y
(a) Escreva o sistema na forma matricial:
[l ddotx ddoty ]=A[l x y ]
(b) Obtenha os autovalores lambda1, lambda2 e autovetores v1, v2 de A.
(c) Escreva a equação na forma diagonal:
[c ddotp ddotq ]=[cc lambda1 & 0 0 & lambda2 ][l p q ], onde [l x y ]=p v1+q v2
(d) Escreva a solução para p(t) e q(t), lembrando que qualquer combinação linear de sen(omega t) e cos (omega t) é autovetor do operador d^2d t^2 com autovalor -omega^2. Considere como condições iniciais:
x(t=0) & =0 dotx(t=0) & =0 y(t=0) & =1 doty(t=0) & =0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de duas massas acopladas por molas, descrito por
ddotx=-km,x+km,(y-x), ddoty=-km,(y-x)+-km,y,
e pede:
(a) forma matricial,
(b) autovalores e autovetores de A,
(c) mudança de base para diagonalizar,
(d) solução de p(t) e q(t) com condições iniciais.
Usaremos álgebra linear de autovalores/vetores e resolução de EDOs harmônicas.

Passo 2

(a) Note que
e .
Logo em forma matricial
]

Passo 3

(b) Defina a=tfrackm. O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det-2a-lambda & a[2pt]a & -2a-lambda =(!-!2a-lambda)^2 - a^2 = lambda^2 +4alambda +3a^2 = 0
Assim
lambda1 = -a = -km, lambda2 = -3a = -3km
Para lambda1 resolvemos (A-lambda1I)v=0, obtendo
-v1+v2=0, logo v1=(1,1)^T.
Para lambda2 vem v1+v2=0, logo v2=(1,-1)^T.]

Passo 4

(c) Com a mudança de base
temos
Impondo achamos em :
e das derivadas .

Passo 5

(d) As EDOs são
ddotp=-tfrackm,p e ddotq=-3tfrackm,q.
Como dotp(0)=0 e dotq(0)=0, as soluções são
p(t)=p(0)cos!l(raiztfrackm,tr) =tfrac12cos!l(raiztfrackm,tr),
q(t)=q(0)cos!l(raiz3tfrackm,tr) =-tfrac12cos!l(raiztfrac3km,tr)

Resposta

p(t)=tfrac12cos!l(raiztfrackm,tr), q(t)=-tfrac12cos!l(raiztfrac3km,tr)

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