Considere um longo cabo reto, de raio a, por onde passa uma corrente I uniformemente distribuída sobre sua seção transversal. A corrente retorna através da superfície condutora do cabo (há um isolante muito fino separando a corrente que vai da corrente que volta). Sabendo que o campo magnético dentro do cabo tem módulo dado por B=\mu_{0} I s /\left(2 \pi a^{2}\right), calcule a energia armazenada no campo magnético por unidade de comprimento do cabo.

Passo 1

O enunciado fornece um cabo reto e longo de raio a com corrente I uniformemente distribuída sobre a seção circular interna; a corrente de retorno passa pela superfície externa do cabo, separada por um isolante fino. Foi informado que, para um ponto interior ao cabo a uma distância radial s do eixo, o módulo do campo magnético é
B(s)=\frac{\mu_{0} I s}{2\pi a^{2}}.
O que se pede é: calcular a energia armazenada no campo magnético por unidade de comprimento do cabo (energia por comprimento, em J/m).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a densidade de energia do campo magnético em um ponto é dada por
u=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}.
Aqui:
  • u é a densidade de energia magnética em \mathrm{J/m^{3}};
  • B é o módulo do campo magnético em tesla;
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}), e aparece na relação entre campo e corrente.
A energia por unidade de comprimento do cabo, que vou chamar de U' (energia por comprimento, em \mathrm{J/m}), é a integral da densidade u sobre a área da seção transversal do cabo (pois estamos calculando por unidade de comprimento, integramos apenas a área transversal). Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é dA=2\pi s\,ds. Assim:
U'=\int_{A} u\,dA=\int_{0}^{a}\frac{B(s)^{2}}{2\mu_{0}}\;2\pi s\,ds.

Passo 3

Substituir a expressão dada de B(s) na integral e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule B(s)^{2}:
B(s)^{2}=\left(\frac{\mu_{0} I s}{2\pi a^{2}}\right)^{2}=\frac{\mu_{0}^{2} I^{2} s^{2}}{4\pi^{2} a^{4}}.
Então
\frac{B(s)^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{1}{2\mu_{0}}\cdot\frac{\mu_{0}^{2} I^{2} s^{2}}{4\pi^{2} a^{4}} =\frac{\mu_{0} I^{2} s^{2}}{8\pi^{2} a^{4}}.
Multiplicando pelo elemento de área 2\pi s\,ds:
\frac{B(s)^{2}}{2\mu_{0}}\;2\pi s\,ds =\frac{\mu_{0} I^{2} s^{2}}{8\pi^{2} a^{4}}\;2\pi s\,ds =\frac{\mu_{0} I^{2} s^{3}}{4\pi a^{4}}\,ds.
Portanto a integral para U' fica
U'=\int_{0}^{a}\frac{\mu_{0} I^{2} s^{3}}{4\pi a^{4}}\,ds.

Passo 4

Calcule a integral elementar:
\int_{0}^{a}s^{3}\,ds=\left.\frac{s^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
Substituindo:
U'=\frac{\mu_{0} I^{2}}{4\pi a^{4}}\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{\mu_{0} I^{2}}{16\pi}.
Portanto a energia armazenada por unidade de comprimento é \dfrac{\mu_{0} I^{2}}{16\pi}. Para checar a consistência física, pode-se escrever U'=\tfrac{1}{2}L' I^{2} e obter a indutância interna por unidade de comprimento L'=\dfrac{\mu_{0}}{8\pi}, que é o valor esperado para a indutância interna de um condutor cilíndrico com corrente retornando na superfície.

Passo 5

Resumo didático final (motivação rápida): usamos a densidade de energia local u=B^{2}/(2\mu_{0}), integramos sobre a seção circular com elemento 2\pi s\,ds, substituímos a expressão conhecida de B(s) e resolvemos uma integral polinomial simples. Nada de campos fora do cabo contribui porque a corrente de retorno na superfície cancela o campo externo.

Resposta

\displaystyle U'=\frac{\mu_{0} I^{2}}{16\pi}\\ \text{(J/m)}

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