Considere um longo cabo reto, de raio a, por onde passa uma corrente I uniformemente distribuída sobre sua seção transversal. A corrente retorna através da superfície condutora do cabo (há um isolante muito fino separando a corrente que vai da corrente que volta). Sabendo que o campo magnético dentro do cabo tem módulo dado por B=\mu_{0} I s /\left(2 \pi a^{2}\right), calcule a energia armazenada no campo magnético por unidade de comprimento do cabo.
Passo 1
O enunciado fornece um cabo reto e longo de raio a com corrente I uniformemente distribuída sobre a seção circular interna; a corrente de retorno passa pela superfície externa do cabo, separada por um isolante fino. Foi informado que, para um ponto interior ao cabo a uma distância radial s do eixo, o módulo do campo magnético é
B(s)=\frac{\mu_{0} I s}{2\pi a^{2}}.
O que se pede é: calcular a energia armazenada no campo magnético por unidade de comprimento do cabo (energia por comprimento, em J/m).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: a densidade de energia do campo magnético em um ponto é dada por
u=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}.
Aqui:
u é a densidade de energia magnética em \mathrm{J/m^{3}};
B é o módulo do campo magnético em tesla;
\mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}), e aparece na relação entre campo e corrente.
A energia por unidade de comprimento do cabo, que vou chamar de U' (energia por comprimento, em \mathrm{J/m}), é a integral da densidade u sobre a área da seção transversal do cabo (pois estamos calculando por unidade de comprimento, integramos apenas a área transversal). Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é dA=2\pi s\,ds. Assim:
Portanto a energia armazenada por unidade de comprimento é \dfrac{\mu_{0} I^{2}}{16\pi}. Para checar a consistência física, pode-se escrever U'=\tfrac{1}{2}L' I^{2} e obter a indutância interna por unidade de comprimento L'=\dfrac{\mu_{0}}{8\pi}, que é o valor esperado para a indutância interna de um condutor cilíndrico com corrente retornando na superfície.
Passo 5
Resumo didático final (motivação rápida): usamos a densidade de energia local u=B^{2}/(2\mu_{0}), integramos sobre a seção circular com elemento 2\pi s\,ds, substituímos a expressão conhecida de B(s) e resolvemos uma integral polinomial simples. Nada de campos fora do cabo contribui porque a corrente de retorno na superfície cancela o campo externo.