Uma espira quadrada de lado
está situada entre dois fios longos que estão no mesmo plano da espira, a uma distância
um do outro. Na realidade, os dois fios longos são os lados maiores de uma grande espira retangular, mas os lados curtos estão tão distantes que podem ser desconsiderados. A espira menor nāo está a meio caminho entre os fios, mas está a uma distância
de um deles e
do outro. Determine a indutância mútua entre as duas espiras.
Passo 1
O enunciado pede a indutância mútua entre duas espiras: uma espira pequena quadrada de lado
e uma espira muito maior cuja contribuição relevante reduz-se a dois fios longos paralelos (os lados grandes do retângulo), separados por uma distância
. A espira pequena está entre esses dois fios, com suas coordenadas ao longo da direção que une os fios assim dispostas:
- distância do fio esquerdo até a aresta esquerda da espira pequena:
; - a espira pequena tem lado
, logo ocupa a região em de até ; - distância da aresta direita da espira pequena até o fio direito é
(verificando que o fio direito está em ); - os fios longos estão no mesmo plano da espira pequena e são tratados como muito longos (ou praticamente infinitos) — os lados curtos da espira grande são desprezíveis.
Informações dadas importantes (resumindo):
- lado da espira pequena:
; - posição dos fios: um em
, outro em ; - espira pequena ocupa
e tem extensão na direção perpendicular à (ou seja, sua área é ); - é preciso determinar a indutância mútua
entre a espira grande (corrente nos fios longos) e a espira pequena.
O que será calculado: fluxo magnético
através da espira pequena devido à corrente
nos dois fios longos; depois usar
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar (lembrando de explicar cada símbolo):
- Campo magnético produzido por um fio retilíneo infinito que transporta corrente
, à distância radial do fio, é dado por
onde
é a permeabilidade do vácuo (constante),
é a corrente no fio e
é a distância perpendicular do ponto ao fio. Essa expressão vem da Lei de Ampère aplicada a um laço circular centrado no fio:
leva a
.
Observações didáticas:
- O campo está orientado perpendicularmente ao plano que contém os fios e a espira (pela regra da mão direita), portanto contribui integralmente para o fluxo através da espira (sinal dependendo da orientação da corrente, mas aqui buscamos o módulo da indutância mútua).
- Como os dois fios longos pertencem à mesma espira grande e têm correntes em sentidos opostos (um sobe, outro desce), entre os fios os campos produzidos por cada fio têm o mesmo sentido e somam-se. Assim é correto somar as magnitudes
de cada fio no intervalo entre eles.
Passo 3
Configurar o cálculo do fluxo
pela espira pequena:
- Colocar um eixo
ao longo da linha que une os dois fios, com o fio esquerdo em e o fio direito em . - A espira pequena ocupa
e, na direção perpendicular (direção ), tem extensão . Assim a área é um retângulo de largura em e comprimento em . - Campo total no ponto de abscissa
(entre os fios) é soma dos campos dos dois fios:
onde
é a contribuição do fio em
(distância
) e
é a contribuição do fio em
(distância
).
- Elemento de área pode ser escrito
se integramos ao longo de multiplicando pela largura em (campo é independente de dentro da espira pequena, pois dependência principal é da distância ao fio em ).
Portanto o fluxo total
através da espira pequena devido à corrente
nos dois fios é
Passo 4
Calcular explicitamente a integral do Passo 3 passo a passo:
- Colocar constante fora da integral:
- Fazer a integral termo a termo. Lembrando primitiva de
é e de é . Assim
- Avaliar nos limites:
- para
: , - para
: .
- para
- Subtraindo (valor em
menos valor em ):
- Portanto o fluxo fica
Passo 5
Obter a indutância mútua
usando a definição (módulo):
Substituindo
do passo anterior:
Verificação dimensional rápida:
tem dimensão H/m, multiplicado por
(m) dá Henry,
é adimensional, divisão por
adimensional — portanto
em Henry, como esperado.
Comentário prático para prova: a ideia é sempre reduzir a espira grande às suas partes que realmente produzem campo na região da espira pequena (aqui, os dois fios quase infinitos). Use a fórmula do campo do fio retilíneo, some contribuições e integre o fluxo sobre a área da espira pequena. Se a espira pequena estivesse centrada entre os fios o integral daria outra constante (mas o procedimento é o mesmo).