1. Uma missão espacial pretende levar astronautas até a superfície de um planeta que possui raio R e massa M. O veículo explorador que deve pousar no planeta possui na Terra um peso P. Determine a aceleração decorrente da gravidade no planeta a uma altura h acima da sua superfície.

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Raio do planeta: R.
  • Massa do planeta: M.
  • Altura acima da superfície onde se quer a gravidade: h.
  • O veículo explorador tem, na Terra, peso P (informação que permite obter a massa do veículo se necessário).
O que o problema pede:
  • Determinar a aceleração decorrente da gravidade no planeta a uma altura h acima da superfície do planeta.

Passo 2

Regra física que vamos usar (explicada de maneira simples):
  • A lei da gravitação universal de Newton afirma que a força gravitacional de atração entre duas massas M (o planeta) e m (o veículo) separadas por uma distância r entre seus centros vale
F = G\,\dfrac{M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional universal ( G\approx 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
Explicando as letras: F é a força (em newtons), M e m são as massas (em quilogramas), r é a distância entre os centros (em metros) e G é uma constante que vale para todo o universo.

Passo 3

Como a aceleração que sentimos devido à gravidade é a aceleração que o planeta imprime ao veículo, usamos a segunda lei de Newton para relacionar força e aceleração:
F = m\,a,
onde a é a aceleração do veículo. Igualando com a força gravitacional:
m\,a = G\,\dfrac{M\,m}{r^{2}}.
Agora simplifica-se: o fator m (a massa do veículo) aparece nos dois lados, então cancela-se. Isso mostra um ponto importante e muito útil na prova: a aceleração gravitacional independe da massa do objeto que está caindo. Ficamos com
a = G\,\dfrac{M}{r^{2}}.

Passo 4

Relacionar r com os dados do enunciado: a distância entre os centros do planeta e do veículo quando este está a uma altura h acima da superfície é
r = R + h.
Substituindo em a obtemos a aceleração da gravidade a essa altura:
g(h) = G\,\dfrac{M}{(R+h)^{2}}.
Aqui escrevi g(h) para enfatizar que é a aceleração gravitacional dependente de h. Cada símbolo significa:
  • g(h): aceleração gravitacional a uma altura h (unidade: \mathrm{m/s^{2}});
  • G: constante gravitacional;
  • M: massa do planeta;
  • R: raio do planeta;
  • h: altura acima da superfície.

Passo 5

Comentários práticos e dicas para prova (como usar essa fórmula rápido):
  • No caso h=0 (na superfície) aparece a gravidade de superfície
g(0)=G\,\dfrac{M}{R^{2}}.
  • Para alturas pequenas h\ll R pode-se aproximar usando expansão binomial:
g(h)\approx g(0)\left(1-\dfrac{2h}{R}\right),
o que mostra que a gravidade cai aproximadamente linearmente com h para pequenas alturas — útil para estimativas rápidas sem calculadora.
  • Se precisar do peso do veículo no planeta a essa altura e você só tem P (peso na Terra), primeiro obtenha a massa do veículo por
m=\dfrac{P}{g_{\oplus}},
onde g_{\oplus} é a aceleração da gravidade na Terra (aproximadamente 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, se for permitida essa aproximação). Então o peso do veículo no planeta a altura h seria
W(h)=m\,g(h)=\dfrac{P}{g_{\oplus}}\;G\,\dfrac{M}{(R+h)^{2}}.

Resposta

g(h)=G\,\dfrac{M}{(R+h)^{2}}

Exercícios relacionados