- Uma missão espacial pretende levar astronautas até a superfície de um planeta que possui raio
e massa
. O veículo explorador que deve pousar no planeta possui na Terra um peso
. Determine a aceleração decorrente da gravidade no planeta a uma altura
acima da sua superfície.
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Raio do planeta:
. - Massa do planeta:
. - Altura acima da superfície onde se quer a gravidade:
. - O veículo explorador tem, na Terra, peso
(informação que permite obter a massa do veículo se necessário).
O que o problema pede:
- Determinar a aceleração decorrente da gravidade no planeta a uma altura
acima da superfície do planeta.
Passo 2
Regra física que vamos usar (explicada de maneira simples):
- A lei da gravitação universal de Newton afirma que a força gravitacional de atração entre duas massas
(o planeta) e (o veículo) separadas por uma distância entre seus centros vale
onde
é a constante gravitacional universal (
).
Explicando as letras: é a força (em newtons),
e
são as massas (em quilogramas),
é a distância entre os centros (em metros) e
é uma constante que vale para todo o universo.
Explicando as letras:
Passo 3
Como a aceleração que sentimos devido à gravidade é a aceleração que o planeta imprime ao veículo, usamos a segunda lei de Newton para relacionar força e aceleração:
onde
é a aceleração do veículo. Igualando com a força gravitacional:
Agora simplifica-se: o fator
(a massa do veículo) aparece nos dois lados, então cancela-se. Isso mostra um ponto importante e muito útil na prova: a aceleração gravitacional independe da massa do objeto que está caindo. Ficamos com
Passo 4
Relacionar
com os dados do enunciado: a distância entre os centros do planeta e do veículo quando este está a uma altura
acima da superfície é
Substituindo em
obtemos a aceleração da gravidade a essa altura:
Aqui escrevi
para enfatizar que é a aceleração gravitacional dependente de
. Cada símbolo significa:
-
: aceleração gravitacional a uma altura (unidade: ); -
: constante gravitacional; -
: massa do planeta; -
: raio do planeta; -
: altura acima da superfície.
Passo 5
Comentários práticos e dicas para prova (como usar essa fórmula rápido):
- No caso
(na superfície) aparece a gravidade de superfície
- Para alturas pequenas
pode-se aproximar usando expansão binomial:
o que mostra que a gravidade cai aproximadamente linearmente com
para pequenas alturas — útil para estimativas rápidas sem calculadora.
- Se precisar do peso do veículo no planeta a essa altura e você só tem
(peso na Terra), primeiro obtenha a massa do veículo por
onde
é a aceleração da gravidade na Terra (aproximadamente
, se for permitida essa aproximação). Então o peso do veículo no planeta a altura
seria