1. De acordo com o livro Da Terra até a Lua escrito por Júlio Verne em 1865, um obus (projétil de forma cilindro-ogival) com três homens foi disparado em direção a Lua por um gigantesco canhão embutido na superfície da Terra. Determine a velocidade mínima necessária na boca do canhão para que o obus disparado verticalmente atinja uma altura igual a n vezes o raio da Terra. Dados: raio da Terra vale R e a massa da Terra vale M.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Raio da Terra: R.
    • Massa da Terra: M.
    • Número adimensional: n — o enunciado pede que o obus atinja uma altura igual a n vezes o raio da Terra.
  • Interpretação adotada (escolhi para evitar ambiguidade): a altura indicada é medida acima da superfície da Terra. Ou seja, a altura pedida é h=nR acima da superfície, então a distância do centro da Terra no ponto mais alto será r_{\text{f}}=R+h=(1+n)R.
  • O que se pede: determinar a velocidade mínima v_0 na boca do canhão (na superfície, em r=R) para que o projétil lançado verticalmente atinja essa altura h=nR.
  • Observações físicas que estou assumindo (comuns nesse tipo de problema): despreza-se a resistência do ar, rotação da Terra e efeitos relativísticos. A única força considerada é a gravitação da Terra.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas que vou usar — explicando cada termo.
  • Conservação da energia mecânica: na ausência de forças dissipativas, a energia mecânica total do projétil (energia cinética K mais energia potencial gravitacional U) é conservada entre dois instantes.
  • Energia cinética de um corpo de massa m com velocidade v: K=\tfrac{1}{2} m v^2,onde m é a massa do projétil (que vai se cancelar mais adiante).
  • Energia potencial gravitacional para duas massas M (Terra) e m separadas por distância r entre seus centros: U(r)=-\dfrac{G M m}{r},onde G é a constante gravitacional universal. Essa energia é negativa porque a convenção usual toma U(\infty)=0: estando ligado gravitacionalmente à Terra, o sistema tem energia menor que no infinito.
  • Condição de velocidade mínima: para que o projétil atinja exatamente a altura desejada, a velocidade no ponto mais alto deve ser zero (caso contrário ele ainda subiria mais). Assim, no ponto mais alto a energia cinética é nula e só resta a energia potencial.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia entre o instante inicial (boca do canhão, r_i=R, velocidade inicial v_0) e o ponto mais alto ( r_f=(1+n)R, velocidade 0 ).
A energia inicial é
E_i = K_i + U_i = \tfrac{1}{2} m v_0^2 - \dfrac{G M m}{R}.
A energia no ponto mais alto é
E_f = K_f + U_f = 0 - \dfrac{G M m}{(1+n)R}.
Pela conservação da energia E_i=E_f. Então
\tfrac{1}{2} m v_0^2 - \dfrac{G M m}{R} = - \dfrac{G M m}{(1+n)R}.

Passo 4

Resolvendo a equação acima para v_0. Primeiro podemos dividir toda a equação por m (a massa do projétil cancela):
\tfrac{1}{2} v_0^2 - \dfrac{G M}{R} = - \dfrac{G M}{(1+n)R}.
Isolando \tfrac{1}{2}v_0^2:
\tfrac{1}{2} v_0^2 = \dfrac{G M}{R} - \dfrac{G M}{(1+n)R}.
Colocando em evidência \dfrac{G M}{R}:
\tfrac{1}{2} v_0^2 = \dfrac{G M}{R}\left(1 - \dfrac{1}{1+n}\right).
Calcule o parêntese:
1 - \dfrac{1}{1+n} = \dfrac{(1+n)-1}{1+n} = \dfrac{n}{1+n}.
Portanto
\tfrac{1}{2} v_0^2 = \dfrac{G M}{R}\cdot \dfrac{n}{1+n}.
Multiplicando por 2 e extraindo a raiz quadrada para obter v_0:
v_0=\sqrt{2\,\dfrac{G M}{R}\cdot \dfrac{n}{1+n}}.

Passo 5

Interpretações e formas úteis da resposta (para compreensão e uso rápido na prova).
  • Uma forma conveniente usa a velocidade de escape na superfície da Terra, definida por v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}.Assim a resposta pode ser escrita como v_0 = v_{\text{esc}}\sqrt{\dfrac{n}{1+n}}.
  • Limites físicos:
    • Se n\to\infty (quer alcançar altura arbitrariamente grande), tem-se \sqrt{\dfrac{n}{1+n}}\to 1 e v_0\to v_{\text{esc}}: recuperar a velocidade de escape, como esperado.
    • Se n=0 (apenas subir zero acima da superfície) então v_0=0, coerente.
    • Para n=1 (alcançar uma altura igual ao raio da Terra), tem-se v_0=v_{\text{esc}}/\sqrt{2}. Usando v_{\text{esc}}\approx 11{,}2\\ \text{km/s} obtém-se v_0\approx 7{,}9\\ \text{km/s}.
  • Dica prática para prova: leve a expressão em termos de v_{\text{esc}}; é curta e ajuda checar limites rápidos.
Força-se a respiração: já tem a fórmula pronta — você consegue aplicar direto em questões parecidas.

Resposta

\displaystyle v_0=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}\cdot\dfrac{n}{1+n}}

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