- De acordo com o livro Da Terra até a Lua escrito por Júlio Verne em 1865, um obus (projétil de forma cilindro-ogival) com três homens foi disparado em direção a Lua por um gigantesco canhão embutido na superfície da Terra. Determine a velocidade mínima necessária na boca do canhão para que o obus disparado verticalmente atinja uma altura igual a
vezes o raio da Terra. Dados: raio da Terra vale
e a massa da Terra vale
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Raio da Terra:
. - Massa da Terra:
. - Número adimensional:
— o enunciado pede que o obus atinja uma altura igual a vezes o raio da Terra.
- Raio da Terra:
- Interpretação adotada (escolhi para evitar ambiguidade): a altura indicada é medida acima da superfície da Terra. Ou seja, a altura pedida é
acima da superfície, então a distância do centro da Terra no ponto mais alto será - O que se pede: determinar a velocidade mínima
na boca do canhão (na superfície, em ) para que o projétil lançado verticalmente atinja essa altura . - Observações físicas que estou assumindo (comuns nesse tipo de problema): despreza-se a resistência do ar, rotação da Terra e efeitos relativísticos. A única força considerada é a gravitação da Terra.
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas que vou usar — explicando cada termo.
- Conservação da energia mecânica: na ausência de forças dissipativas, a energia mecânica total do projétil (energia cinética
mais energia potencial gravitacional ) é conservada entre dois instantes. - Energia cinética de um corpo de massa
com velocidade : onde é a massa do projétil (que vai se cancelar mais adiante). - Energia potencial gravitacional para duas massas
(Terra) e separadas por distância entre seus centros: onde é a constante gravitacional universal. Essa energia é negativa porque a convenção usual toma : estando ligado gravitacionalmente à Terra, o sistema tem energia menor que no infinito. - Condição de velocidade mínima: para que o projétil atinja exatamente a altura desejada, a velocidade no ponto mais alto deve ser zero (caso contrário ele ainda subiria mais). Assim, no ponto mais alto a energia cinética é nula e só resta a energia potencial.
Passo 3
Escrevendo a conservação de energia entre o instante inicial (boca do canhão,
, velocidade inicial
) e o ponto mais alto (
, velocidade
).
A energia inicial é
A energia no ponto mais alto é
Pela conservação da energia
. Então
Passo 4
Resolvendo a equação acima para
. Primeiro podemos dividir toda a equação por
(a massa do projétil cancela):
Isolando
:
Colocando em evidência
:
Calcule o parêntese:
Portanto
Multiplicando por 2 e extraindo a raiz quadrada para obter
:
Passo 5
Interpretações e formas úteis da resposta (para compreensão e uso rápido na prova).
- Uma forma conveniente usa a velocidade de escape na superfície da Terra, definida por
Assim a resposta pode ser escrita como - Limites físicos:
- Se
(quer alcançar altura arbitrariamente grande), tem-se e : recuperar a velocidade de escape, como esperado. - Se
(apenas subir zero acima da superfície) então , coerente. - Para
(alcançar uma altura igual ao raio da Terra), tem-se . Usando obtém-se .
- Se
- Dica prática para prova: leve a expressão em termos de
; é curta e ajuda checar limites rápidos.
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