Considere uma loteria com três possíveis resultados:
Uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de 125
Uma probabilidade de 0,5 para o recebimento de 50$
a) Qual é o valor esperado dessa loteria?
b) Qual é a variância dos resultados dessa loteria?

Passo 1

O enunciado descreve uma loteria com três pagamentos possíveis e pede o valor esperado e a variância dos resultados. O conteúdo aqui é o cálculo de expectativa e variância de uma variável aleatória discreta, usando as fórmulas
E[X]=sumi pi xi
Var(X)=sumi pi xi^2 - l(E[X]r)^2

Passo 2

Calculamos o valor esperado pela definição
E[X]=0,2cdot125 + 0,3cdot100 + 0,5cdot50
E[X]=25 + 30 + 25 = 80

Passo 3

Para a variância precisamos de E[X^2]. Então
E[X^2]=0,2cdot125^2 + 0,3cdot100^2 + 0,5cdot50^2
E[X^2]=0,2cdot15625 + 0,3cdot10000 + 0,5cdot2500
E[X^2]=3125 + 3000 + 1250 = 7375

Passo 4

Agora aplicamos
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2 = 7375 - 80^2
Var(X)=7375 - 6400 = 975

Resposta

a) O valor esperado é $80.
b) A variância é 975 (dólares ao quadrado).

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