Suponha que dois investimentos têm a mesma remuneração, mas a probabilidade associada a cada remuneração difere, como representado pela tabela:
Retorno Probabilidade (investimento A) Probabilidade (investimento B)
300 0,10 0,30
250 0,80 0,40
200 0,10 0,30
a) Calcule o retorno esperado e o desvio padrão de cada investimento.
b) Jill tem a função de utilidade U=5 R, onde R indica a remuneração. Qual investimento ele escolherá?
c) Ken tem a função de utilidade U=raiz5 R. Qual investimento ele escolherá?
d) Laura tem a função de utilidade U=5 R^2. Qual investimento ela escolherá?

Passo 1

O enunciado traz dois investimentos (A e B) com os mesmos possíveis retornos (200,250,300), porém probabilidades diferentes. Queremos aplicar conceitos de valor esperado e desvio-padrão para cada um (parte a) e depois usar teoria de decisão por utilidade esperada com três funções de utilidade diferentes (partes b, c e d).

Passo 2

Vamos calcular para cada investimento XinA,B o valor esperado E[RX], o segundo momento E[RX^2], a variância Var(RX) e o desvio-padrão sigmaX.
Para o investimento A:
E[RA]=0,1cdot300+0,8cdot250+0,1cdot200=250
E[RA^2]=0,1cdot300^2+0,8cdot250^2+0,1cdot200^2=63000
Var(RA)=E[RA^2]-l(E[RA]r)^2=63000-250^2=500
sigmaA=raiz500approx22,36
Para o investimento B:
E[RB]=0,3cdot300+0,4cdot250+0,3cdot200=250
E[RB^2]=0,3cdot300^2+0,4cdot250^2+0,3cdot200^2=64000
Var(RB)=E[RB^2]-l(E[RB]r)^2=64000-250^2=1500
sigmaB=raiz1500approx38,73

Passo 3

Função de utilidade de Jill: U=5R. Como é linear em R, maximiza E[U]=5E[R]. Temos
E[UA]=5cdot250=1250, E[UB]=5cdot250=1250
Logo Jill é indiferente entre A e B.

Passo 4

Função de utilidade de Ken: U=raiz5R. Calculamos
E[UA]=0,1raiz1500+0,8raiz1250+0,1raiz1000approx35,32,
E[UB]=0,3raiz1500+0,4raiz1250+0,3raiz1000approx35,25
Como E[UA]>E[UB], Ken escolhe o investimento A.

Passo 5

Função de utilidade de Laura: U=5R^2. Então
E[UA]=5,E[RA^2]=5cdot63000=315000,
E[UB]=5,E[RB^2]=5cdot64000=320000
Como E[UB]>E[UA], Laura escolhe o investimento B.

Resposta

a) E[RA]=250, sigmaAapprox22,36; E[RB]=250, sigmaBapprox38,73.
b) Jill é indiferente.
c) Ken escolhe A.
d) Laura escolhe B.

Exercícios relacionados