Calcule o determinante de cada matriz abaixo:
B=(cccc-5 & 10 & 4 & 2 10 & -4 & 9 & 7 -10 & -2 & -3 & -7 15 & 3 & 2 & 3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de B, uma matriz 4times4. O conteúdo envolvido é o cálculo de determinante por operações de linha e expansão de Laplace. Vamos usar operações elementares para criar zeros na primeira coluna e depois expandir pelo primeiro elemento.

Passo 2

Usamos as operações de linha que não alteram o determinante:
R2 R2 + 2R1, R3 R3 - 2R1, R4 R4 + 3R1
Isso transforma B em
-5 & 10 & 4 & 2 0 & 16 & 17 & 11 0 & -22 & -11 & -11 0 & 33 & 14 & 9

Passo 3

Agora expandimos o determinante pelo primeiro elemento da coluna 1:
det(B) = (-5),det 16 & 17 & 11 -22 & -11 & -11 33 & 14 & 9
Denotemos essa matriz Q.

Passo 4

Calculamos det(Q) por desenvolvimento na primeira linha:
det(Q) = 16det-11 & -11 [6pt]14 & 9 -17det-22 & -11 [6pt]33 & 9 +11det-22 & -11 [6pt]33 & 14
Cada menor vale:
det-11 & -11 14 & 9 =(-11)cdot9 -(-11)cdot14 =55,
det-22 & -11 33 & 9 =(-22)cdot9 -(-11)cdot33 =165,
det-22 & -11 33 & 14 =(-22)cdot14 -(-11)cdot33 =55
Logo,
det(Q)=16cdot55 -17cdot165 +11cdot55 =880 -2805 +605 = -1320 ]

Passo 5

Substituindo em det(B)=(-5)det(Q), obtemos
det(B)=(-5)times(-1320)=6600

Resposta

6600

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