Considere \mathbb{R} com a métrica usual e A \subset \mathbb{R}. Nessa situação, determine \operatorname{int}(A), \bar{A}, \operatorname{int}(\bar{A}) e \overline{\operatorname{lnt}(A)}, em cada caso. A=\mathbb{Z}
Passo 1
O enunciado considera A=\mathbb{Z}\subset\mathbb{R} com a métrica usual. Precisamos usar as definições de interior (maior conjunto aberto contido em A) e de fechamento (menor conjunto fechado que contém A) para calcular
Para encontrar \operatorname{int}(A), note que se existisse um intervalo aberto não vazio contido em \mathbb{Z}, ele teria a forma (n-\varepsilon,n+\varepsilon)\subset\mathbb{Z} para algum n\in\mathbb{Z} e \varepsilon>0. Mas esse intervalo sempre contém pontos não inteiros. Logo não há intervalo aberto não trivial dentro de \mathbb{Z}, e
\operatorname{int}(A)=\varnothing.
Passo 3
Para o fechamento \overline{A}, observe que \mathbb{Z} é um conjunto fechado em \mathbb{R} (o complemento é a união dos intervalos (n,n+1)). Portanto \mathbb{Z} já contém todos os seus pontos de aderência e \overline{A}=\mathbb{Z}.
Passo 4
Agora \operatorname{int}(\overline{A})=\operatorname{int}(\mathbb{Z}). Mas vimos no passo 2 que esse interior é vazio. Logo
\operatorname{int}(\overline{A})=\varnothing.
Passo 5
Finalmente, \operatorname{int}(A)=\varnothing, então o fechamento desse interior é