Considere \mathbb{R} com a métrica usual e A \subset \mathbb{R}. Nessa situação, determine \operatorname{int}(A), \bar{A}, \operatorname{int}(\bar{A}) e \overline{\operatorname{lnt}(A)}, em cada caso.
A=\mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado considera A=\mathbb{Z}\subset\mathbb{R} com a métrica usual. Precisamos usar as definições de interior (maior conjunto aberto contido em A) e de fechamento (menor conjunto fechado que contém A) para calcular
\operatorname{int}(A),\quad \overline{A},\quad \operatorname{int}(\overline{A}),\quad \overline{\operatorname{int}(A)}.

Passo 2

Para encontrar \operatorname{int}(A), note que se existisse um intervalo aberto não vazio contido em \mathbb{Z}, ele teria a forma (n-\varepsilon,n+\varepsilon)\subset\mathbb{Z} para algum n\in\mathbb{Z} e \varepsilon>0. Mas esse intervalo sempre contém pontos não inteiros. Logo não há intervalo aberto não trivial dentro de \mathbb{Z}, e
\operatorname{int}(A)=\varnothing.

Passo 3

Para o fechamento \overline{A}, observe que \mathbb{Z} é um conjunto fechado em \mathbb{R} (o complemento é a união dos intervalos (n,n+1)). Portanto \mathbb{Z} já contém todos os seus pontos de aderência e \overline{A}=\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora \operatorname{int}(\overline{A})=\operatorname{int}(\mathbb{Z}). Mas vimos no passo 2 que esse interior é vazio. Logo
\operatorname{int}(\overline{A})=\varnothing.

Passo 5

Finalmente, \operatorname{int}(A)=\varnothing, então o fechamento desse interior é
\overline{\operatorname{int}(A)}=\overline{\varnothing}=\varnothing.

Resposta

\operatorname{int}(A)=\varnothing \overline{A}=\mathbb{Z} \operatorname{int}(\overline{A})=\varnothing \overline{\operatorname{int}(A)}=\varnothing

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