(44 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) A sequência, cujo termo geral é a_{n}=n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right), é limitada e é convergente.
(b) ( ) Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} uma série convergente de termos positivos. Então a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} também é convergente.
(c) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty}(\pi)^{n-1} 3^{-(n-1)} é uma série geométrica convergente, com soma igual a \frac{3}{3+\pi}.
(d) ( ) A série dada por
3+2+\frac{4}{3}+\frac{8}{9}+\frac{16}{27}+\ldots,
converge para 9.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas quatro afirmações sobre convergência de sequências e séries. Vamos usar:
  1. Teste de limite e crescimento de \sin x para sequências.
  2. Comportamento de séries de termos positivos e o fato de a_n\to0 se \sum a_n converge.
  3. Critério de convergência de séries geométricas.

Passo 2

(a) A sequência é
a_n = n \sin\bigl(\tfrac1n\bigr).
Para x>0 vale \sin x < x, logo
0 < n\sin\bigl(\tfrac1n\bigr) < n\cdot\tfrac1n = 1,
ou seja, (a_n) é limitada. Além disso, usando o limite clássico
\lim_{n\to\infty}n\sin\bigl(\tfrac1n\bigr) =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\quad\text{com }x=\tfrac1n =1.
Logo (a_n) converge (para 1). Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Se \sum_{n=1}^\infty a_n converge com a_n>0, então a_n\to0. Assim 1/a_n\to+\infty, e claramente
\sum_{n=1}^\infty\frac1{a_n}
não pode convergir porque seus termos não tendem a zero. Logo (b) é falsa.

Passo 4

(c) A série
\sum_{n=1}^\infty (\pi)^{n-1}3^{-(n-1)}
é geométrica de razão
r = \frac{\pi}{3}.
Como \lvert r\rvert = \pi/3>1, a série diverge. Não há soma finita, logo (c) é falsa.

Passo 5

(d) A série
3 + 2 + \frac43 + \frac{8}{9} + \frac{16}{27} + \cdots
é geométrica com primeiro termo a=3 e razão
r = \frac{2}{3},
pois 3\cdot\frac23=2, 2\cdot\frac23=\tfrac43, etc. Como \lvert r\rvert<1, converge e a soma é
\frac{a}{1-r} = \frac{3}{1 - \tfrac23} = 9.
Portanto (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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