(44 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) A sequência, cujo termo geral é
, é limitada e é convergente.
(b) ( ) Seja
uma série convergente de termos positivos. Então a série
também é convergente.
(c) ( ) A série
é uma série geométrica convergente, com soma igual a
.
(d) ( ) A série dada por
converge para 9.
(a) ( ) A sequência, cujo termo geral é
(b) ( ) Seja
(c) ( ) A série
(d) ( ) A série dada por
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas quatro afirmações sobre convergência de sequências e séries. Vamos usar:
- Teste de limite e crescimento de
para sequências. - Comportamento de séries de termos positivos e o fato de
se converge. - Critério de convergência de séries geométricas.
Passo 2
(a) A sequência é
Para
vale
, logo
ou seja,
é limitada. Além disso, usando o limite clássico
Logo
converge (para
). Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Se
converge com
, então
. Assim
, e claramente
não pode convergir porque seus termos não tendem a zero. Logo (b) é falsa.
Passo 4
(c) A série
é geométrica de razão
Como
, a série diverge. Não há soma finita, logo (c) é falsa.
Passo 5
(d) A série
é geométrica com primeiro termo
e razão
pois
,
, etc. Como
, converge e a soma é
Portanto (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira