Considere ( M, d ) um espaço métrico e A \subset M. Com base nessas informações, mostre que
F_{r}(A) \cap A=\emptyset \Leftrightarrow A \text { é aberto em } M .é

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço métrico (M,d) e dado A\subset M, vale
\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é aberto em }M,é
onde \mathrm{Fr}(A) denota a fronteira (ou “boundary”) de A. Para isso vamos usar as definições de fecho e de interior:
\overline{A} é o fecho de A.
\mathrm{int}(A) é o interior de A.
– Por definição
\mathrm{Fr}(A)=\overline{A}\setminus \mathrm{int}(A).

Passo 2

Prova da implicação “ \Rightarrow”: suponha
\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset.
Como \mathrm{Fr}(A)=\overline{A}\setminus \mathrm{int}(A), temos
\mathrm{Fr}(A)\cap A =\bigl(\overline{A}\setminus \mathrm{int}(A)\bigr)\cap A =\bigl(\overline{A}\cap A\bigr)\setminus \mathrm{int}(A).
Mas sempre vale A\subset \overline{A}, logo \overline{A}\cap A=A. Assim
\mathrm{Fr}(A)\cap A = A\setminus \mathrm{int}(A).
Pela hipótese temos A\setminus \mathrm{int}(A)=\emptyset, isto é, todo x\in A está em \mathrm{int}(A). Logo
A\subset \mathrm{int}(A).
Mas sabemos também que sempre \mathrm{int}(A)\subset A. Concluímos
A=\mathrm{int}(A),
o que significa exatamente que A é aberto em M.

Passo 3

Prova da implicação “ \Leftarrow”: agora suponha que A seja aberto, isto é,
A=\mathrm{int}(A).
Então
\mathrm{Fr}(A) =\overline{A}\setminus \mathrm{int}(A) =\overline{A}\setminus A.
Fica claro que nenhum ponto de A pode estar em \overline{A}\setminus A, pois isso exigiria x\in A e x\notin A simultaneamente. Logo
\mathrm{Fr}(A)\cap A =\bigl(\overline{A}\setminus A\bigr)\cap A =\emptyset.

Resposta

Demonstrou‐se as duas implicações, portanto
\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é aberto em }M.é

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