Considere ( M, d ) um espaço métrico e A \subset M. Com base nessas informações, mostre que
F_{r}(A) \cap A=\emptyset \Leftrightarrow A \text { é aberto em } M .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço métrico (M,d) e dado A\subset M, vale
\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é aberto em }M,
onde \mathrm{Fr}(A) denota a fronteira (ou “boundary”) de A. Para isso vamos usar as definições de fecho e de interior:
– \overline{A} é o fecho de A.
– \mathrm{int}(A) é o interior de A.
– Por definição