Considere
com a métrica usual. Com base nessa informação, determine o conjunto derivado de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço métrico
com a métrica usual (distância euclidiana) e o subconjunto
. Queremos encontrar o conjunto derivado de
, isto é, o conjunto de todos os pontos de acumulação de
. Lembrando a definição:
Passo 2
Adotemos
e vejamos se ele pode ser ponto de acumulação. Como os inteiros adjacentes a
são
e
, a distância mínima de
a qualquer outro inteiro é
Logo, basta escolher
para que
Portanto nenhum
satisfaz a definição de ponto de acumulação.
Passo 3
Agora seja
. Então a distância de
ao conjunto
é
Tomando
, o disco
não contém nenhum inteiro. Logo também não há inteiros diferentes de
(até porque
) em qualquer vizinhança de
.
Resposta
O conjunto derivado de
é o conjunto vazio: