Considere \mathbb{R} com a métrica usual. Com base nessa informação, determine o conjunto derivado de \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço métrico \R com a métrica usual (distância euclidiana) e o subconjunto \Z. Queremos encontrar o conjunto derivado de \Z, isto é, o conjunto de todos os pontos de acumulação de \Z. Lembrando a definição:
\Z' = \{\,x\in\R \mid \forall r>0,\;(B(x,r)\setminus\{x\})\cap \Z \neq \emptyset\}.

Passo 2

Adotemos x\in\Z e vejamos se ele pode ser ponto de acumulação. Como os inteiros adjacentes a x são x-1 e x+1, a distância mínima de x a qualquer outro inteiro é
\min\bigl\{\,|x-(x-1)|,\;|x-(x+1)|\bigr\} =1.
Logo, basta escolher r=\tfrac12 para que
B\bigl(x,\tfrac12\bigr)\cap(\Z\setminus\{x\})=\emptyset.
Portanto nenhum x\in\Z satisfaz a definição de ponto de acumulação.

Passo 3

Agora seja x\notin\Z. Então a distância de x ao conjunto \Z é
d\bigl(x,\Z\bigr)=\inf_{n\in\Z}|x-n|>0.
Tomando r=d(x,\Z), o disco B(x,r) não contém nenhum inteiro. Logo também não há inteiros diferentes de x (até porque x\notin\Z) em qualquer vizinhança de x.

Resposta

O conjunto derivado de \Z é o conjunto vazio:
\Z' = \emptyset.

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