Considere (
) um espaço métrico e
. Nessas condições, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço métrico
e para qualquer
, vale
Aqui
é a “fronteira grossa” (ou r-boundary) de
, que se define usando distâncias a
e a seu complemento. Vamos escrever a definição e verificar a igualdade trocando
por
.
Passo 2
Definição da fronteira grossa de raio
:
Em palavras, são todos os pontos de
que ficam a no máximo
tanto de
quanto de seu complemento
.
Passo 3
Agora escrevemos
trocando
por
na definição:
Passo 4
Observamos que
. Portanto a condição
é exatamente
Assim a descrição de
fica idêntica à de
: