Considere (
) um espaço métrico e
. A partir disso, mostre que
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço métrico
com um subconjunto
. Definimos a aderência de
por
Também sabemos que
é fechado em
se, e somente se, sua aderência coincide com ele, isto é,
Queremos provar
Passo 2
Mostramos que sempre vale
De fato, se
então, para todo
, temos
, logo
. Assim
.
Passo 3
Suponha agora
. Como já vimos que
, segue
Mas
é justamente a aderência de
, isto é,
. Logo
e por definição disso
é fechado em
.
Passo 4
Reciprocamente, se
é fechado então
. Como
, obtemos
e, em particular,
.