Considere ( M, d ) um espaço métrico e A \subset M. A partir disso, mostre que
F_{r}(A) \subset A \Leftrightarrow A \text { é fechado em } M \text {. }é

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço métrico (M,d) com um subconjunto A\subset M. Definimos a aderência de A por
F_{r}(A)=\{x\in M\mid \forall \varepsilon>0,\;B(x,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset\}.
Também sabemos que A é fechado em M se, e somente se, sua aderência coincide com ele, isto é,
\mathrm{cl}(A)=A.
Queremos provar
F_{r}(A)\subset A\quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é fechado em }M.é

Passo 2

Mostramos que sempre vale
A\subset F_{r}(A).
De fato, se x\in A então, para todo \varepsilon>0, temos x\in B(x,\varepsilon)\cap A, logo B(x,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset. Assim x\in F_{r}(A).

Passo 3

Suponha agora F_{r}(A)\subset A. Como já vimos que A\subset F_{r}(A), segue
F_{r}(A)=A.
Mas F_{r}(A) é justamente a aderência de A, isto é, \mathrm{cl}(A)=F_{r}(A). Logo
\mathrm{cl}(A)=A,
e por definição disso A é fechado em M.

Passo 4

Reciprocamente, se A é fechado então \mathrm{cl}(A)=A. Como \mathrm{cl}(A)=F_{r}(A), obtemos
F_{r}(A)=A
e, em particular, F_{r}(A)\subset A.

Resposta

F_{r}(A)\subset A\quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é fechado em }M.é

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