Converta os seguintes valores fracionários, da base 10 para a base 2 :
0,3_{10};

Passo 1

O enunciado pede: converter o número fracionário 0,3_{10} (ou seja, 0{,}3 na base decimal) para a base binária.
Informação dada: o número é a fração decimal 0{,}3 em base 10 (isto é, 3/10).

Passo 2

Explicação do método (como funciona e por que funciona).
  • Ideia prática (algoritmo): para obter os dígitos de uma fração na base 2 multiplicamos a parte fracionária por 2. O inteiro resultante dessa multiplicação é o próximo dígito binário (0 ou 1). Repetimos com a nova parte fracionária até obter 0 ou observar um ciclo que se repete.
  • Por que isso funciona: escrevendo uma fração binária como
x = 0.b_1 b_2 b_3\ldots_2,
temos
x = b_1 2^{-1} + b_2 2^{-2} + b_3 2^{-3} + \cdots.
Multiplicar x por 2 desloca os dígitos um lugar à esquerda:
2x = b_1 + b_2 2^{-1} + b_3 2^{-2} + \cdots.
O inteiro de 2x é b_1. Então iterar a operação dá os dígitos sucessivos.
  • Observação importante: se a fração decimal é um número racional cuja parte inteira do denominador (em fatoração) tem primos além de 2 (por exemplo, 5 no caso de 10), a expansão em base 2 será periódica (repetirá um bloco). Isso explica por que, muitas vezes, não obtemos uma representação finita em base 2.

Passo 3

Aplicando o algoritmo passo a passo a 0{,}3_{10} (vou anotar cada multiplicação e o bit gerado). Começamos com a parte fracionária f_0 = 0{,}3.
  1. 2 f_0 = 2\cdot 0{,}3 = 0{,}6. O inteiro é 0, logo o primeiro bit é b_1 = 0. Nova fracção f_1 = 0{,}6.
  2. 2 f_1 = 2\cdot 0{,}6 = 1{,}2. O inteiro é 1, logo b_2 = 1. Nova fracção f_2 = 0{,}2.
  3. 2 f_2 = 2\cdot 0{,}2 = 0{,}4. O inteiro é 0, logo b_3 = 0. Nova fracção f_3 = 0{,}4.
  4. 2 f_3 = 2\cdot 0{,}4 = 0{,}8. O inteiro é 0, logo b_4 = 0. Nova fracção f_4 = 0{,}8.
  5. 2 f_4 = 2\cdot 0{,}8 = 1{,}6. O inteiro é 1, logo b_5 = 1. Nova fracção f_5 = 0{,}6.
Repare que f_5 = 0{,}6 é igual a f_1. Ou seja, as frações repetiram, portanto a sequência de bits a partir de b_2 vai se repetir ciclicamente. Os bits obtidos até aqui são:
b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 = 0\;1\;0\;0\;1.
Como a partir de b_2 o bloco 1,0,0,1 se repete, a expansão binária é
0{,}01001\,1001\,1001\ldots_2.

Passo 4

Identificação do período e escrita compacta.
  • Observação do ciclo: o bloco repetido é 1001 (começando em b_2). Portanto podemos escrever a representação com repetição:
0{,}3_{10} = 0{,}0\overline{1001}_2,
onde o traço acima ( \overline{\,\,}) indica repetição infinita do bloco 1001. Em forma expandida:
0{,}3_{10} = 0{,}0100110011001\ldots_2.

Passo 5

Verificação rápida por soma geométrica (para ficar seguro de que a repetição resulta em 3/10).
  • O bloco de 4 bits 1,0,0,1 nas posições 2 a 5 (ou seja, casas 2^{-2} a 2^{-5}) tem valor
\text{valor do bloco} = 2^{-2} + 2^{-5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{32} = \frac{9}{32}.
  • A representação é um 0 na primeira casa ( 2^{-1}) mais a repetição desse bloco a cada 4 casas, ou seja:
x = \frac{9}{32} + \frac{9}{32}\left(\frac{1}{16}\right) + \frac{9}{32}\left(\frac{1}{16}\right)^2 + \cdots.
Isto é uma série geométrica com razão 1/16. Somando:
x = \frac{9}{32}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{16}} = \frac{9}{32}\cdot\frac{16}{15} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}.
Portanto a expansão obtida confere exatamente com 0{,}3_{10}=\dfrac{3}{10}.

Resposta

0{,}3_{10} = 0{,}0\overline{1001}_2

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