Converta os seguintes valores fracionários, da base 10 para a base 2 : 0,3_{10};
Passo 1
O enunciado pede: converter o número fracionário 0,3_{10} (ou seja, 0{,}3 na base decimal) para a base binária.
Informação dada: o número é a fração decimal 0{,}3 em base 10 (isto é, 3/10).
Passo 2
Explicação do método (como funciona e por que funciona).
Ideia prática (algoritmo): para obter os dígitos de uma fração na base 2 multiplicamos a parte fracionária por 2. O inteiro resultante dessa multiplicação é o próximo dígito binário (0 ou 1). Repetimos com a nova parte fracionária até obter 0 ou observar um ciclo que se repete.
Por que isso funciona: escrevendo uma fração binária como
Multiplicar x por 2 desloca os dígitos um lugar à esquerda:
2x = b_1 + b_2 2^{-1} + b_3 2^{-2} + \cdots.
O inteiro de 2x é b_1. Então iterar a operação dá os dígitos sucessivos.
Observação importante: se a fração decimal é um número racional cuja parte inteira do denominador (em fatoração) tem primos além de 2 (por exemplo, 5 no caso de 10), a expansão em base 2 será periódica (repetirá um bloco). Isso explica por que, muitas vezes, não obtemos uma representação finita em base 2.
Passo 3
Aplicando o algoritmo passo a passo a 0{,}3_{10} (vou anotar cada multiplicação e o bit gerado). Começamos com a parte fracionária f_0 = 0{,}3.
2 f_0 = 2\cdot 0{,}3 = 0{,}6. O inteiro é 0, logo o primeiro bit é b_1 = 0. Nova fracção f_1 = 0{,}6.
2 f_1 = 2\cdot 0{,}6 = 1{,}2. O inteiro é 1, logo b_2 = 1. Nova fracção f_2 = 0{,}2.
2 f_2 = 2\cdot 0{,}2 = 0{,}4. O inteiro é 0, logo b_3 = 0. Nova fracção f_3 = 0{,}4.
2 f_3 = 2\cdot 0{,}4 = 0{,}8. O inteiro é 0, logo b_4 = 0. Nova fracção f_4 = 0{,}8.
2 f_4 = 2\cdot 0{,}8 = 1{,}6. O inteiro é 1, logo b_5 = 1. Nova fracção f_5 = 0{,}6.
Repare que f_5 = 0{,}6 é igual a f_1. Ou seja, as frações repetiram, portanto a sequência de bits a partir de b_2 vai se repetir ciclicamente. Os bits obtidos até aqui são:
b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 = 0\;1\;0\;0\;1.
Como a partir de b_2 o bloco 1,0,0,1 se repete, a expansão binária é
0{,}01001\,1001\,1001\ldots_2.
Passo 4
Identificação do período e escrita compacta.
Observação do ciclo: o bloco repetido é 1001 (começando em b_2). Portanto podemos escrever a representação com repetição:
0{,}3_{10} = 0{,}0\overline{1001}_2,
onde o traço acima (\overline{\,\,}) indica repetição infinita do bloco 1001. Em forma expandida:
0{,}3_{10} = 0{,}0100110011001\ldots_2.
Passo 5
Verificação rápida por soma geométrica (para ficar seguro de que a repetição resulta em 3/10).
O bloco de 4 bits 1,0,0,1 nas posições 2 a 5 (ou seja, casas 2^{-2} a 2^{-5}) tem valor