A2 Considere uma máquina com sistema de
. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior número em módulo representado nesta máquina?
b) Como será representado o número 23456 nesta máquina?
c) Se
e
qual o resultado de
se for usado o arredondamento? Considerando ainda,
e
, qual o resultado da operação:
Justifique a melhor a forma.
d) Considere o cálculo de
, onde
e
. Qual o resultado obtido no cálculo de
nas duas opções:
calcula
e em seguida obtém
;
calcula
e em seguida
. Justifique qual a melhor forma.
a) Qual o menor e o maior número em módulo representado nesta máquina?
b) Como será representado o número 23456 nesta máquina?
c) Se
d) Considere o cálculo de
calcula
calcula
Passo 1
Beleza, temos aqui um exercício de aritmética de ponto flutuante numa “máquina” com base 10, mantissa de 4 dígitos e expoentes entre –5 e +5, ou seja,
.
Conteúdo: representação normalizada, arredondamento e propagação de erro em soma e produto/divisão.
O que precisamos saber:
Conteúdo: representação normalizada, arredondamento e propagação de erro em soma e produto/divisão.
O que precisamos saber:
- Como se normaliza um número (mantissa × base^expoente).
- Como funciona o ULP (unidade no último lugar) e o tal do arredondamento.
- O intervalo de expoentes (
, ).
Passo 2
(a) Menor e maior módulo representável
- Numeração normalizada em base 10, mantissa
com . - Exponente mínimo
→ menor positivo é
Negativo seria
.
3. Expoente máximo , mantissa máxima
→ maior módulo
3. Expoente máximo
Passo 3
(b) Representar
em
- Normaliza:
. - Mantissa só tem 4 dígitos: temos “2.3456”, vamos arredondar para 4 dígitos significativos.
- O quinto dígito é ‘6’ (>5), então a mantissa vira
.
- O quinto dígito é ‘6’ (>5), então a mantissa vira
- Resultado:
Passo 4
(c.1) Calcular
com arredondamento, onde
e
- Escreve em ponto flutuante:
- Soma aritmética exata:
. - Mas, ao alinhar expoentes e somar mantissas, o resultado intermediário é
. Temos 5 dígitos “42453”, mas só cabem 4. O 5º dígito é ‘3’ (<5) → ao arredondar, fica
Ou seja, o
“some” por causa do arredondamento.
Passo 5
(c.2) Comparar duas maneiras de somar
vezes
com
- Jeito 1: comece com
e faça 10 vezes , arredondando a cada passo. - No primeiro passo já dá
(como vimos), e daí em diante nunca muda. Resultado final:
- No primeiro passo já dá
- Jeito 2: primeiro soma todos os
entre si, depois adiciona a . -
, exatamente . - Depois
. Em ponto flutuante:
Dá
-
- Conclusão: é melhor somar primeiro os números pequenos (aqui o b’s) entre si, e só depois juntar com o grande, pra diminuir os efeitos do arredondamento.
Passo 6
(d) Calcular
de dois jeitos e ver qual funciona melhor, sendo
- Jeito 1: multiplica primeiro
. - Exato:
- Mas
tem expoente , cai fora do alcance → overflow.
- Exato:
- Jeito 2: divide antes,
, depois multiplica por . -
, que é , ok. - Agora
.
→ sem overflow, dá.
-
- Conclusão: melhor dividir primeiro, aí sim multiplico.
Resposta
a) Menor módulo
. Maior módulo
.
b) .
c)
b)
c)
- Somando
direto com arredondamento dá . - Somando 10-vezes
depois com dá . Melhor somar primeiro os .
d) -
“direto” dá overflow. - Fazendo
a máquina lida bem e retorna .