A3 Avalie as expressões abaixo em um sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos. Compute o erro relativo em cada operação executada e no resultado final. Identifique qual a operação contribuiu mais expressivamente para o erro final.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a expressão
num sistema de ponto flutuante com 5 dígitos significativos.
Conteúdo: aritmética de ponto-flutuante, arredondamento e erro relativo.
O que vamos usar:
Conteúdo: aritmética de ponto-flutuante, arredondamento e erro relativo.
O que vamos usar:
- Como somar e depois arredondar para 5 dígitos (adição).
- Como aplicar a raiz quadrada e arredondar (operações não lineares).
- Como fazer a subtração final e medir o erro em cada etapa.
Passo 2
Operação 1:
s = 1 + 1.4×10⁻⁴ = 1.00014 (exato).
Em 5 dígitos significativos a mantissa só cabe “1.0001” (o sexto dígito 4 < 5, então “trunca”).
Logo
s = 1 + 1.4×10⁻⁴ = 1.00014 (exato).
Em 5 dígitos significativos a mantissa só cabe “1.0001” (o sexto dígito 4 < 5, então “trunca”).
Logo
Erro relativo dessa adição:
Passo 3
Operação 2:
r = √(fl(s)) = √(1.0001).
Usamos expansão de Taylor ou calculadora para achar
r = √(fl(s)) = √(1.0001).
Usamos expansão de Taylor ou calculadora para achar
Arredondando a 5 dígitos: mantissa “1.00005” (o sexto dígito 9 ≥5 então sobe o quinto de 4→5).
Erro relativo da raiz:
Passo 4
Operação 3:
f = fl® - 1 = 1.00005 - 1 = 0.00005 (exato nessa subtração).
Em 5 dígitos: “5.0000×10⁻⁵”, mas é exatamente 5.0e-5.
Erro relativo da subtração (comparando com o valor exato r–1 = 0.000049999875):
f = fl® - 1 = 1.00005 - 1 = 0.00005 (exato nessa subtração).
Em 5 dígitos: “5.0000×10⁻⁵”, mas é exatamente 5.0e-5.
Erro relativo da subtração (comparando com o valor exato r–1 = 0.000049999875):
Passo 5
Valor “verdadeiro” da expressão:
Valor final computado f̂ = 5.0×10⁻⁵.
Erro relativo total:
Erro relativo total:
Resposta
Erros relativos nas operações:
• Adição:
• Raiz:
• Subtração:
Erro relativo final: (–28.6%).
A operação que mais contribuiu foi a adição inicial (erro de ordem ), pois truncar 1.00014 para 1.0001 gerou o maior impacto.
• Adição:
• Raiz:
• Subtração:
Erro relativo final:
A operação que mais contribuiu foi a adição inicial (erro de ordem