A3 Avalie as expressões abaixo em um sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos. Compute o erro relativo em cada operação executada e no resultado final. Identifique qual a operação contribuiu mais expressivamente para o erro final.
raiz1+1.4 times 10^-4-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a expressão
raiz,1 + 1.4times10^-4,;-;1
num sistema de ponto flutuante com 5 dígitos significativos.
Conteúdo: aritmética de ponto-flutuante, arredondamento e erro relativo.
O que vamos usar:
  1. Como somar e depois arredondar para 5 dígitos (adição).
  2. Como aplicar a raiz quadrada e arredondar (operações não lineares).
  3. Como fazer a subtração final e medir o erro em cada etapa.

Passo 2

Operação 1:
s = 1 + 1.4×10⁻⁴ = 1.00014 (exato).
Em 5 dígitos significativos a mantissa só cabe “1.0001” (o sexto dígito 4 < 5, então “trunca”).
Logo
fl(s)=1.0001
Erro relativo dessa adição:
e1 = fl(s) - ss = 1.0001 - 1.000141.00014 approx -3.9994times10^-5

Passo 3

Operação 2:
r = √(fl(s)) = √(1.0001).
Usamos expansão de Taylor ou calculadora para achar
raiz1.0001approx 1.000049999875(exato)
Arredondando a 5 dígitos: mantissa “1.00005” (o sexto dígito 9 ≥5 então sobe o quinto de 4→5).
fl(r)=1.00005
Erro relativo da raiz:
e2 = fl(r) - raiz1.0001raiz1.0001 approx 1.00005 - 1.0000499998751.000049999875 approx 1.25times10^-11

Passo 4

Operação 3:
f = fl® - 1 = 1.00005 - 1 = 0.00005 (exato nessa subtração).
Em 5 dígitos: “5.0000×10⁻⁵”, mas é exatamente 5.0e-5.
Erro relativo da subtração (comparando com o valor exato r–1 = 0.000049999875):
e3 = 0.00005 - 0.0000499998750.000049999875 approx 2.5times10^-6

Passo 5

Valor “verdadeiro” da expressão:
frm real = raiz1+1.4times10^-4;-;1 approx 6.999755times10^-5
Valor final computado f̂ = 5.0×10⁻⁵.
Erro relativo total:
erm total = f̂ - frm realfrm real = 5.0times10^-5 - 6.999755times10^-56.999755times10^-5 approx -0.2857(,-28.6%!)

Resposta

Erros relativos nas operações:
• Adição:  e1approx -3.9994times10^-5
• Raiz:  e2approx 1.25times10^-11
• Subtração:  e3approx 2.5times10^-6
Erro relativo final: erm totalapprox -0.2857 (–28.6%).
A operação que mais contribuiu foi a adição inicial (erro de ordem 10^-5), pois truncar 1.00014 para 1.0001 gerou o maior impacto.

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