Considere a massa do bloco 11 kg e sua velocidade inicial de subida de
. Considere que agora há atrito na rampa. O ângulo da rampa é
em relação à horizontal. Quando o deslocamento do bloco é de
, sua velocidade de subida diminui para
. Determine: (b) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um bloco de 11 kg que sobe uma rampa inclinada em 50° com velocidade inicial de 8 m/s, e, depois de percorrer 0,7 m pra cima, chega a 4,2 m/s. A ideia é achar o coeficiente de atrito cinético μₖ entre bloco e rampa.
Conteúdo: Teorema do trabalho e energia (variação de energia cinética = trabalho das forças) + conceito de força de atrito (Fₐ = μₖ N).
Conteúdo: Teorema do trabalho e energia (variação de energia cinética = trabalho das forças) + conceito de força de atrito (Fₐ = μₖ N).
Passo 2
Vamos montar o Teorema Trabalho-Energia:
ΔK = K_final – K_inicial = Trabalho da gravidade + Trabalho do atrito.
ΔK = K_final – K_inicial = Trabalho da gravidade + Trabalho do atrito.
-
Energia cinética:
K = ½ m v²
Logo, Kf – Ki = ½ m v² – ½ m v₀². -
Trabalho da gravidade (força peso faz componente paralela à rampa):
W_g = – m g d sinθ
(o sinal é negativo porque a gravidade “puxa” o bloco pra baixo). -
Trabalho do atrito (força de atrito também se opõe ao movimento):
N = m g cosθ
Fₐ = μₖ N = μₖ m g cosθ
Wₐ = – Fₐ d = – μₖ m g cosθ d.
Então:
½ m v² – ½ m v₀² = – m g d sinθ – μₖ m g cosθ d
½ m v² – ½ m v₀² = – m g d sinθ – μₖ m g cosθ d
Passo 3
Agora a gente isola μₖ. Primeiro divide tudo por m:
½ (v² – v₀²) = – g d sinθ – μₖ g d cosθ
½ (v² – v₀²) = – g d sinθ – μₖ g d cosθ
Passo seguinte, joga g d sinθ pro outro lado e muda sinal:
μₖ g d cosθ = –½ (v² – v₀²) – g d sinθ
Mas –½ (v² – v₀²) = ½ (v₀² – v²), então:
μₖ = {½ (v₀² – v²) / (g d) – sinθ} / cosθ
μₖ g d cosθ = –½ (v² – v₀²) – g d sinθ
Mas –½ (v² – v₀²) = ½ (v₀² – v²), então:
μₖ = {½ (v₀² – v²) / (g d) – sinθ} / cosθ
Passo 4
Hora do “pegador de número”:
v₀ = 8, v = 4.2, d = 0.7, g = 9.8, θ = 50°.
v₀ = 8, v = 4.2, d = 0.7, g = 9.8, θ = 50°.
- v₀² – v² = 64 – 17.64 = 46.36
- ½ (v₀² – v²) = 23.18
- g d = 9.8 × 0.7 = 6.86
- 23.18 / 6.86 ≃ 3.38
- sin50° ≃ 0.7660, cos50° ≃ 0.6428
- Numerador = 3.38 – 0.7660 = 2.614
- μₖ = 2.614 / 0.6428 ≃ 4.07
Resposta
O coeficiente de atrito cinético é aproximadamente μₖ ≃ 4,07.