Considere uma massa de 1 kg horizontalmente acoplada a uma mola. A partir da posição de equilibrio, a massa recebe uma velocidade inicial de 1 m / s e a partir desse momento passa pela posição de equilibrio a cada 2 segundos. Numa observação feita em um certo instante, a massa estava 0.8 m além da posição de equilibrio e 4 segundos depois, a massa estava 0.4 m além da posição de equilibrio. Determina a posição da massa em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) de massa m=1,kg presa a uma mola, sem amortecimento. Ele dá duas informações-chave:
1. A massa recebe, na posição de equilíbrio ( x=0), uma velocidade inicial de 1,m/s e, a partir daí, passa pela posição de equilíbrio a cada 2,s.
2. Em um certo instante t0 a massa estava em x(t0)=0,8,m e, 4,s depois, em x(t0+4)=0,4,m.
O que vamos precisar:
  • Determinar a frequência angular omega a partir do período.
  • Escrever a solução geral x(t)=Acos(omega t+varphi).
  • Verificar se existem constantes A e varphi que atendam às observações dadas.

Passo 2

Como a massa passa pela posição de equilíbrio a cada 2,s, esse intervalo corresponde a meio período ( T/2) do MHS. Logo,
T2=2 Longrightarrow T=4s,
e a frequência angular é
omega=2piT=2pi4=pi2 l[rad/sr]

Passo 3

A solução geral do MHS é
x(t)=Acosl(omega t+varphir) com omega=pi2
Como T=4,s, sabemos que o movimento é periódico de período 4,s, isto é,
x(t+4)=x(t) forall,t

Passo 4

Aplicando a periodicidade ao dado x(t0)=0,8,m e x(t0+4)=0,4,m, teríamos
x(t0+4)=x(t0) Longrightarrow 0,4 stackrel?=0,8,
o que é uma contradição.

Passo 5

Como o MHS com período 4,s exige x(t+4)=x(t), não há nenhum par de constantes (A,varphi) que permita
x(t0)=0,8 e x(t0+4)=0,4
Portanto, os dados fornecidos são inconsistentes com um movimento harmônico simples de período 4,s.

Resposta

Não existe função x(t) de MHS com período 4,s que satisfaça simultaneamente as condições x(t0)=0,8,m e x(t0+4)=0,4,m, pois a periodicidade exigiria x(t0+4)=x(t0).

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