Considere uma massa de 1 kg horizontalmente acoplada a uma mola. A partir da posição de equilibrio, a massa recebe uma velocidade inicial de
e a partir desse momento passa pela posição de equilibrio a cada 2 segundos. Numa observação feita em um certo instante, a massa estava 0.8 m além da posição de equilibrio e 4 segundos depois, a massa estava 0.4 m além da posição de equilibrio. Determina a posição da massa em qualquer instante
.
Passo 1
O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) de massa
,kg presa a uma mola, sem amortecimento. Ele dá duas informações-chave:
. A massa recebe, na posição de equilíbrio (
), uma velocidade inicial de
,m/s e, a partir daí, passa pela posição de equilíbrio a cada
,s.
. Em um certo instante
a massa estava em
,m e,
,s depois, em
,m.
O que vamos precisar:
- Determinar a frequência angular
a partir do período. - Escrever a solução geral
. - Verificar se existem constantes
e que atendam às observações dadas.
Passo 2
Como a massa passa pela posição de equilíbrio a cada
,s, esse intervalo corresponde a meio período (
) do MHS. Logo,
e a frequência angular é
Passo 3
A solução geral do MHS é
Como
,s, sabemos que o movimento é periódico de período
,s, isto é,
Passo 4
Aplicando a periodicidade ao dado
,m e
,m, teríamos
o que é uma contradição.
Passo 5
Como o MHS com período
,s exige
, não há nenhum par de constantes
que permita
Portanto, os dados fornecidos são inconsistentes com um movimento harmônico simples de período
,s.
Resposta
Não existe função
de MHS com período
,s que satisfaça simultaneamente as condições
,m e
,m, pois a periodicidade exigiria
.