Escolha g(y) para que f(x, y)=e^c x g(y) satisfaza as equações:
fx=7 fy.

Passo 1

O enunciado pede para escolher uma função g(y) de modo que a função
f(x,y)=e^c x,g(y)
satisfa à equação em derivadas parciais
fx=7,fy
O conteúdo aqui é transformar essa PDE numa ODE para g(y).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx=partialpartial xl(e^c xg(y)r) = c,e^c x,g(y),
fy=partialpartial yl(e^c xg(y)r) = e^c x,g'(y)
Substituindo em fx=7,fy obtemos
c,e^c x,g(y)=7,e^c x,g'(y) Longrightarrow c,g(y)=7,g'(y)

Passo 3

A equação
g'(y)=c7,g(y)
é uma ODE de separação de variáveis. Logo,
g'(y)g(y)=c7 Longrightarrow ln g(y)=c7,y + K
em que K é constante de integração. Daí
g(y)=C,e^c7y,
onde definimos C=e^K.

Resposta

g(y)=C,e^c7y, com C constante arbitrária.

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