Determine a segunda derivada de:
y=tan ^2(x)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y = tan^2(x). O conteúdo envolve regras de derivação: primeiro a regra da cadeia para obter y' e depois a regra do produto para achar y''.

Passo 2

Para achar a primeira derivada aplicamos a regra da cadeia em tan^2(x). Seja u=tan(x), então y=u^2. Temos
dudx = sec^2(x),
dydu = 2u
Logo,
y' = dydx = dydu,dudx = 2,tan(x),sec^2(x)

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y'' = ddxl(2,tan(x),sec^2(x)r). Como há um produto entre 2tan(x) e sec^2(x), usamos a regra do produto:
y'' = 2l[ddx(tan(x))cdot sec^2(x) + tan(x)cdot ddx(sec^2(x))r]
Sabemos que ddx(tan(x))=sec^2(x) e, pela regra da cadeia,
ddx(sec^2(x)) = 2,sec(x)cdot ddx(sec(x)) = 2,sec(x)l(sec(x)tan(x)r) = 2,sec^2(x),tan(x)

Passo 4

Substituindo em y'':
y'' = 2l[sec^2(x)cdot sec^2(x) + tan(x)cdot 2,sec^2(x),tan(x)r] = 2l[sec^4(x) + 2,tan^2(x),sec^2(x)r]
Fatorando 2,sec^2(x):
y'' = 2,sec^2(x)l[sec^2(x) + 2,tan^2(x)r]
Como sec^2(x)=1+tan^2(x), podemos escrever
sec^2(x)+2tan^2(x)=1+3tan^2(x),
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y''=2,sec^2(x)l(1+3tan^2(x)r)

Resposta

y'' = 2,sec^2(x)l(1+3tan^2(x)r)

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