Considere uma massa
em repouso. Considere outra massa
que se move no campo gravitacional produzido por
. Mostre que para uma órbita circular a energia total de
é sempre negativa.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas massas: uma massa
que está parada e outra massa
que está se movendo no campo gravitacional criado por
. Queremos demonstrar que, para uma órbita circular, a energia total de
é sempre negativa. Isso envolve conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e órbitas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia cinética. É a energia que um objeto tem devido ao seu movimento e é calculada por:
Onde:
-
é a energia cinética, -
é a massa do objeto, -
é a velocidade do objeto.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre energia potencial gravitacional. Quando temos duas massas, elas exercem uma força gravitacional uma sobre a outra. A energia potencial gravitacional entre elas é dada por:
Onde:
-
é a energia potencial gravitacional, -
é a constante gravitacional, -
e são as massas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa.
Passo 4
Para que a órbita seja circular, a força centrípeta necessária para manter
em movimento circular deve ser igual à força gravitacional que
exerce sobre
. A força centrípeta é dada por:
E a força gravitacional é:
Igualando as duas forças:
Podemos simplificar cancelando
e multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora que temos a relação entre
e
, podemos substituir
na expressão da energia cinética:
Passo 6
A energia total
do sistema é a soma da energia cinética
e da energia potencial gravitacional
:
Simplificando:
Resposta
Para uma órbita circular, a energia total de
é sempre negativa e dada por: