Considere uma massa M em repouso. Considere outra massa eta que se move no campo gravitacional produzido por M. Mostre que para uma órbita circular a energia total de m é sempre negativa.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas massas: uma massa M que está parada e outra massa m que está se movendo no campo gravitacional criado por M. Queremos demonstrar que, para uma órbita circular, a energia total de m é sempre negativa. Isso envolve conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e órbitas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia cinética. É a energia que um objeto tem devido ao seu movimento e é calculada por:
K = 12 m v^2
Onde:
  • K é a energia cinética,
  • m é a massa do objeto,
  • v é a velocidade do objeto.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre energia potencial gravitacional. Quando temos duas massas, elas exercem uma força gravitacional uma sobre a outra. A energia potencial gravitacional entre elas é dada por:
U = -G M mr
Onde:
  • U é a energia potencial gravitacional,
  • G é a constante gravitacional,
  • M e m são as massas,
  • r é a distância entre os centros das duas massas.
O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa.

Passo 4

Para que a órbita seja circular, a força centrípeta necessária para manter m em movimento circular deve ser igual à força gravitacional que M exerce sobre m. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = m v^2r í
E a força gravitacional é:
Fgravitacional = G M mr^2
Igualando as duas forças:
m v^2r = G M mr^2
Podemos simplificar cancelando m e multiplicando ambos os lados por r:
v^2 = G Mr

Passo 5

Agora que temos a relação entre v^2 e G Mr, podemos substituir v^2 na expressão da energia cinética:
K = 12 m ( G Mr ) = G M m2 r

Passo 6

A energia total E do sistema é a soma da energia cinética K e da energia potencial gravitacional U:
E = K + U = G M m2 r - G M mr
Simplificando:
E = -G M m2 r

Resposta

Para uma órbita circular, a energia total de m é sempre negativa e dada por:
E = -G M m2 r

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