Dado o potencial gravitacional
, calcule as componentes do vetor campo gravitacional correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício onde precisamos encontrar as componentes do vetor campo gravitacional a partir de um potencial gravitacional dado: $ V = 2x^{2}yz + xyz^{3} $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, para resolver isso. Precisamos entender como derivar $ V $ em relação a cada uma das coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ para encontrar as componentes do campo gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor campo gravitacional $ \vec{g} $ está relacionado ao potencial gravitacional $ V $ pelo gradiente negativo:
Isso significa que cada componente de $ \vec{g} $ será a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, multiplicada por -1.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $. Isso significa tratar $ y $ e $ z $ como constantes e derivar em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ V $ em relação a $ y $. Aqui, $ x $ e $ z $ são tratados como constantes:
Passo 5
Por último, vamos derivar $ V $ em relação a $ z $, tratando $ x $ e $ y $ como constantes:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente $ \nabla V $:
Passo 7
Lembrando que o campo gravitacional $ \vec{g} $ é o gradiente negativo de $ V $, temos:
Resposta
As componentes do vetor campo gravitacional são: