Dado o potencial gravitacional V=2 x^2 y z+x y z^3, calcule as componentes do vetor campo gravitacional correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício onde precisamos encontrar as componentes do vetor campo gravitacional a partir de um potencial gravitacional dado: $ V = 2x^{2}yz + xyz^{3} $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, para resolver isso. Precisamos entender como derivar $ V $ em relação a cada uma das coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ para encontrar as componentes do campo gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor campo gravitacional $ \vec{g} $ está relacionado ao potencial gravitacional $ V $ pelo gradiente negativo:
g
Isso significa que cada componente de $ \vec{g} $ será a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, multiplicada por -1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $. Isso significa tratar $ y $ e $ z $ como constantes e derivar em relação a $ x $:
V

Passo 4

Agora, vamos derivar $ V $ em relação a $ y $. Aqui, $ x $ e $ z $ são tratados como constantes:
V

Passo 5

Por último, vamos derivar $ V $ em relação a $ z $, tratando $ x $ e $ y $ como constantes:
V

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente $ \nabla V $:
nabla V

Passo 7

Lembrando que o campo gravitacional $ \vec{g} $ é o gradiente negativo de $ V $, temos:
g

Resposta

As componentes do vetor campo gravitacional são:
g = (-4xyz - yz^3)i + (-2x^2z - xz^3)j + (-2x^2y - 3xyz^2)k

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