Tendo em vista uma carga
distribuída uniformemente em uma casca esférica de raio a. Calcule o potencial elétrico
e o campo elétrico (
-> escalar) no centro
dessa casca esférica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga $ Q $ distribuída de maneira uniforme numa casca esférica com raio $ a $. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ E $ no centro dessa casca, que chamaremos de ponto $ O $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para potencial e campo elétrico devido a distribuições de carga simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico $ V $ no centro da casca esférica. O potencial elétrico devido a uma distribuição de carga pontual é dado pela fórmula:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $), $ Q $ é a carga e $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
No caso de uma casca esférica com carga distribuída uniformemente, cada elemento de carga na casca contribui para o potencial no centro. Como todas as cargas estão à mesma distância $ a $ do centro, podemos simplificar o cálculo somando o potencial devido a cada elemento de carga.
Portanto, o potencial total no centro $ O $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico $ E $ no centro da casca esférica. O campo elétrico devido a uma distribuição de carga simétrica como uma casca esférica pode ser encontrado usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss afirma que:
onde $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 5
No nosso caso, queremos encontrar o campo elétrico no centro da casca. Se imaginarmos uma superfície gaussiana esférica infinitamente pequena no centro, a carga dentro dessa superfície é zero, pois toda a carga está distribuída na superfície da casca a uma distância $ a $ do centro.
Assim, de acordo com a Lei de Gauss:
onde $ r $ é o raio da superfície gaussiana. Como $ r $ tende a zero, temos:
Resposta
Portanto, no centro da casca esférica:
- O potencial elétrico é $ V = \frac{kQ}{a} $.
- O campo elétrico é $ E = 0 $.