Considere a superposição de dois movimentos harmônicos simples de mesma direção e mesma frequência. Obtenha o movimento resultante quando a diferença de fase entre êles é igual a pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a superposição de dois movimentos harmônicos simples que têm a mesma direção e frequência. O objetivo é descobrir qual é o movimento resultante quando a diferença de fase entre eles é igual a pi. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superposição de ondas, movimentos harmônicos simples e como a diferença de fase afeta o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um movimento harmônico simples (MHS) pode ser representado pela função:
x(t) = A cos(omega t + phi)
onde:
- A é a amplitude,
- omega é a frequência angular,
- phi é a fase inicial.
Como temos dois MHS com a mesma frequência e direção, podemos escrever:
x1(t) = A cos(omega t + phi)
x2(t) = B cos(omega t + phi + De
Aqui, A e B são as amplitudes dos dois movimentos, e De é a diferença de fase entre eles, que no nosso caso é pi.

Passo 3

Vamos considerar que as amplitudes são iguais, ou seja, A = B. Então, as equações ficam:
x1(t) = A cos(omega t + phi)
x2(t) = A cos(omega t + phi + pi)

Passo 4

A diferença de fase de pi significa que uma das funções está deslocada meio período em relação à outra. Sabemos que:
cos(theta + pi) = -cos(theta)
Então, podemos reescrever x2(t) como:
x2(t) = -A cos(omega t + phi)

Passo 5

Agora, vamos somar os dois movimentos para encontrar o movimento resultante xr(t):
xr(t) = x1(t) + x2(t) = A cos(omega t + phi) + (-A cos(omega t + phi))
xr(t) = A cos(omega t + phi) - A cos(omega t + phi)
xr(t) = 0

Resposta

O movimento resultante é uma posição nula para todo instante de tempo, ou seja, xr(t) = 0. Isso significa que os dois movimentos se cancelam completamente devido à diferença de fase de pi.

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