Considere um material que apresenta anisotropia em suas componentes da dilatação. Esse material apresenta área inicial
, onde
e
são as dimensões iniciais das arestas vertical e horizontal, respectivamente. Os coeficientes de dilatação vertical
e horizontal
são diferentes entre si e seus valores estão na ordem de
.
(a) Mostre que podemos calcular a dilatação superficial através da equação
]
(a) Mostre que podemos calcular a dilatação superficial através da equação
]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que mostremos uma expressão para a dilatação superficial (variação de área) de um material anisotrópico:
- A área inicial é
, onde e são as dimensões iniciais das arestas vertical e horizontal, respectivamente. - Os coeficientes lineares de dilatação são diferentes nas duas direções: o coeficiente vertical é
e o coeficiente horizontal é . - Os valores típicos desses coeficientes estão na ordem de
. - Precisamos obter a relação que dá a dilatação superficial (variação da área) quando a temperatura sofre uma variação
.
Passo 2
Conceito básico: dilatação linear em uma direção.
Para uma aresta de comprimento inicial que sofre uma variação de temperatura
, a dilatação linear (para coeficiente
) é dada por
Para uma aresta de comprimento inicial
Explicando a fórmula:
é o coeficiente linear de dilatação (unidade
),
é a variação de temperatura,
é o comprimento inicial e
é o comprimento após o aquecimento. Essa relação vem da definição aproximada
, rearranjando para
e
, que leva à fórmula acima. Para coeficientes pequenos e
moderada, essa expressão é válida com boa precisão.
Passo 3
Aplicando a dilatação linear às duas direções do nosso retângulo:
- Na direção vertical:
- Na direção horizontal:
Aqui
e
são as dimensões após a variação de temperatura. Expliquei antes o significado de cada símbolo.
Passo 4
Agora calculamos a nova área multiplicando as duas dimensões finais:
Usando
, obtemos a expressão exata (sem aproximação):
Desenvolvendo o produto:
Passo 5
Agora obtém-se a variação de área
:
Interpretação e aproximação prática: como
e
estão na ordem de
, o termo quadrático
tem ordem de grandeza
. Mesmo para
razoavelmente grande (por exemplo
), esse termo fica na ordem de
, muito menor que o termo linear
(que estaria na ordem de
para soma de
de
e
). Portanto, na prática é comum desprezar o termo de segunda ordem e usar a aproximação linear:
Dito de outro modo, a “coeficiente areal efetivo”
é aproximadamente
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para ganhar confiança): suponha
,
e
. Então
ou seja aumento de área de
. O termo quadrático seria
, que é desprezível diante de
.