Considere um material que apresenta anisotropia em suas componentes da dilatação. Esse material apresenta área inicial A_{0}=I_{0 \mathrm{v}} I_{0 \mathrm{~h}}, onde I_{0 \mathrm{v}} e I_{0 \mathrm{~h}} são as dimensões iniciais das arestas vertical e horizontal, respectivamente. Os coeficientes de dilatação vertical \alpha_{\nu} e horizontal \alpha_{h} são diferentes entre si e seus valores estão na ordem de 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.
(a) Mostre que podemos calcular a dilatação superficial através da equação
]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que mostremos uma expressão para a dilatação superficial (variação de área) de um material anisotrópico:
  • A área inicial é A_{0}=I_{0\mathrm{v}}I_{0\mathrm{h}}, onde I_{0\mathrm{v}} e I_{0\mathrm{h}} são as dimensões iniciais das arestas vertical e horizontal, respectivamente.
  • Os coeficientes lineares de dilatação são diferentes nas duas direções: o coeficiente vertical é \alpha_{\nu} e o coeficiente horizontal é \alpha_{h}.
  • Os valores típicos desses coeficientes estão na ordem de 10^{-5}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Precisamos obter a relação que dá a dilatação superficial (variação da área) quando a temperatura sofre uma variação \Delta T.

Passo 2

Conceito básico: dilatação linear em uma direção.
Para uma aresta de comprimento inicial I_{0} que sofre uma variação de temperatura \Delta T, a dilatação linear (para coeficiente \alpha) é dada por
I = I_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Explicando a fórmula: \alpha é o coeficiente linear de dilatação (unidade {}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}), \Delta T é a variação de temperatura, I_{0} é o comprimento inicial e I é o comprimento após o aquecimento. Essa relação vem da definição aproximada \alpha \approx \dfrac{\Delta I}{I_{0}\,\Delta T}, rearranjando para \Delta I = \alpha I_{0}\Delta T e I=I_{0}+\Delta I, que leva à fórmula acima. Para coeficientes pequenos e \Delta T moderada, essa expressão é válida com boa precisão.

Passo 3

Aplicando a dilatação linear às duas direções do nosso retângulo:
  • Na direção vertical:
I_{\mathrm{v}} = I_{0\mathrm{v}}\bigl(1+\alpha_{\nu}\,\Delta T\bigr).
  • Na direção horizontal:
I_{\mathrm{h}} = I_{0\mathrm{h}}\bigl(1+\alpha_{h}\,\Delta T\bigr).
Aqui I_{\mathrm{v}} e I_{\mathrm{h}} são as dimensões após a variação de temperatura. Expliquei antes o significado de cada símbolo.

Passo 4

Agora calculamos a nova área multiplicando as duas dimensões finais:
A = I_{\mathrm{v}}I_{\mathrm{h}} = I_{0\mathrm{v}}I_{0\mathrm{h}}\bigl(1+\alpha_{\nu}\Delta T\bigr)\bigl(1+\alpha_{h}\Delta T\bigr).
Usando A_{0}=I_{0\mathrm{v}}I_{0\mathrm{h}}, obtemos a expressão exata (sem aproximação):
A = A_{0}\bigl(1+\alpha_{\nu}\Delta T\bigr)\bigl(1+\alpha_{h}\Delta T\bigr).
Desenvolvendo o produto:
A = A_{0}\Bigl[1+(\alpha_{\nu}+\alpha_{h})\Delta T + \alpha_{\nu}\alpha_{h}(\Delta T)^{2}\Bigr].

Passo 5

Agora obtém-se a variação de área \Delta A = A - A_{0}:
\Delta A = A_{0}\Bigl[(\alpha_{\nu}+\alpha_{h})\Delta T + \alpha_{\nu}\alpha_{h}(\Delta T)^{2}\Bigr].
Interpretação e aproximação prática: como \alpha_{\nu} e \alpha_{h} estão na ordem de 10^{-5}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}, o termo quadrático \alpha_{\nu}\alpha_{h}(\Delta T)^{2} tem ordem de grandeza \sim 10^{-10}(\Delta T)^{2}. Mesmo para \Delta T razoavelmente grande (por exemplo 100^\circ\mathrm{C}), esse termo fica na ordem de 10^{-6}, muito menor que o termo linear (\alpha_{\nu}+\alpha_{h})\Delta T (que estaria na ordem de 10^{-3} para soma de \alpha de 10^{-5} e \Delta T=100^\circ\mathrm{C}). Portanto, na prática é comum desprezar o termo de segunda ordem e usar a aproximação linear:
\Delta A \approx A_{0}(\alpha_{\nu}+\alpha_{h})\Delta T.
Dito de outro modo, a “coeficiente areal efetivo” \beta é aproximadamente \beta\approx\alpha_{\nu}+\alpha_{h}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para ganhar confiança): suponha \alpha_{\nu}=2{,}0\times10^{-5}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}, \alpha_{h}=1{,}0\times10^{-5}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1} e \Delta T=50^\circ\mathrm{C}. Então
\frac{\Delta A}{A_{0}}\approx(2{,}0\times10^{-5}+1{,}0\times10^{-5})\cdot50=3{,}0\times10^{-5}\cdot50=1{,}5\times10^{-3},
ou seja aumento de área de 0{,}15\%. O termo quadrático seria \alpha_{\nu}\alpha_{h}(\Delta T)^{2}=2{,}0\times10^{-10}\cdot2500=5{,}0\times10^{-7}, que é desprezível diante de 1{,}5\times10^{-3}.

Resposta

A = A_{0}\bigl(1+\alpha_{\nu}\Delta T\bigr)\bigl(1+\alpha_{h}\Delta T\bigr) = A_{0}\Bigl[1+(\alpha_{\nu}+\alpha_{h})\Delta T + \alpha_{\nu}\alpha_{h}(\Delta T)^{2}\Bigr]
\Delta A \approx A_{0}(\alpha_{\nu}+\alpha_{h})\Delta T

Exercícios relacionados