Um gás em expansão adiabática realiza algum trabalho? Caso positivo, de onde vem essa energia para realizá-lo?

Passo 1

O que o enunciado pede: saber se um gás em expansão adiabática realiza trabalho e, caso positivo, explicar de onde vem a energia para esse trabalho.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expansão é adiabática, ou seja, não há troca de calor com o ambiente: \delta Q=0.
  • O enunciado não especificou se a expansão é reversível, irreversível, ou livre (em vácuo). Então preciso considerar os casos possíveis.
  • Pergunta dupla: (1) o gás realiza trabalho? (2) se realiza, qual a origem da energia usada para o trabalho?

Passo 2

Primeira ferramenta: a Primeira Lei da Termodinâmica. Vou explicar com calma e sem pressa.
A Primeira Lei diz que a variação da energia interna \Delta U de um sistema é igual ao calor trocado com o meio menos o trabalho feito pelo sistema. Usando a convenção comum (calor positivo entra no sistema; trabalho positivo é trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente),
dU=\delta Q-\delta W.
Aqui:
  • dU é a variação infinitesimal da energia interna,
  • \delta Q é o calor infinitesimal recebido pelo sistema,
  • \delta W é o trabalho infinitesimal realizado pelo sistema.
Para um processo adiabático temos \delta Q=0. Logo, a lei fica simplesmente
dU=-\delta W.
Interpretação simples: todo trabalho feito pelo sistema deve reduzir sua energia interna (se não entra calor).

Passo 3

Conclusão geral imediata (sem ainda especificar detalhes do processo): se o gás se expande fazendo trabalho sobre o ambiente, então esse trabalho tem de vir da energia interna do gás — porque \delta Q=0 não traz energia externa. Logo, sim, um gás em expansão adiabática pode realizar trabalho; a energia para o trabalho sai da sua energia interna, o que normalmente faz cair a temperatura do gás.
Vou explicar o que é “energia interna” e como isso aparece para um gás ideal: para um gás ideal monoatômico a energia interna depende só da temperatura segundo
U = n c_V T,
onde:
  • n é o número de mols,
  • c_V é o calor específico molar a volume constante,
  • T é a temperatura absoluta.
Assim, para um gás ideal em processo adiabático que faz trabalho, a redução de U corresponde a uma redução de T. Matematicamente, integrando a relação diferencial obtém-se
W=\int \delta W = -\int dU = -(U_2-U_1)=U_1-U_2,
ou, usando U=n c_V T,
W = n c_V (T_1-T_2).
Essa é uma expressão prática: o trabalho realizado pelo gás é proporcional à queda de temperatura.

Passo 4

Caso reversível e gás ideal: resultado prático e derivação para usar na prova.
Num processo adiabático reversível para um gás ideal vale a relação
P V^\gamma=\text{const},
onde \gamma=\dfrac{c_P}{c_V} é a razão dos calores específicos. Também vale a forma equivalente
T V^{\gamma-1}=\text{const}.
Para computar o trabalho reversível fazemos
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Como o processo é adiabático reversível, P pode ser escrito como P=K V^{-\gamma} com K=P_1 V_1^\gamma. Então
W=\int_{V_1}^{V_2} K V^{-\gamma}\,dV = \frac{K}{1-\gamma}\left(V_2^{1-\gamma}-V_1^{1-\gamma}\right).
Rearranjando essa expressão (e lembrando 1-\gamma=-(\gamma-1)) obtém-se a forma muito usada:
W=\frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma-1}.
Essa é uma fórmula pronta que você pode usar na prova quando tiver P_1,V_1,P_2,V_2 em um processo adiabático reversível para um gás ideal.
Também se conecta com a fórmula W=n c_V (T_1-T_2) pela relação entre c_V, R e \gamma: \gamma-1 = \dfrac{R}{c_V}, levando às mesmas expressões.

Passo 5

Caso irreversível com pressão externa constante: o cálculo do trabalho muda.
Se o gás expande contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}} (um processo irreversível típico), o trabalho realizado é simplesmente
W = P_{\text{ext}}(V_2-V_1).
Aqui o gás pode realizar menos trabalho do que no caso reversível (quando P_{\text{ext}} é igual à pressão do gás ao longo do processo). A energia para esse trabalho continua vindo da energia interna, ou seja, \Delta U = -W porque \delta Q=0.

Passo 6

Caso especial importante: expansão livre (Joule), ou expansão em vácuo.
Se o gás se expande livremente para um volume disponível no vácuo, a pressão externa é nula: P_{\text{ext}}=0. Então
W = P_{\text{ext}}(V_2-V_1)=0.
Nesse caso o processo é adiabático ( \delta Q=0) e como W=0 temos pela primeira lei
\Delta U=0.
Para um gás ideal isso implica \Delta T=0 (a temperatura não muda) — resultado clássico do experimento de Joule para gás ideal. Para gases reais, em expansão livre a energia interna pode mudar porque U pode depender também do volume (interações intermoleculares); aí pode haver variação de temperatura mesmo sem calor trocado e sem trabalho.

Passo 7

Resumo físico-intuitivo e dicas para prova
  • Se durante a expansão há resistência (uma pressão externa não nula), o gás empurra o entorno e realiza trabalho — essa energia sai do próprio gás (energia interna) e geralmente aparece como queda de temperatura para gases ideais.
  • Use sempre a Primeira Lei \;dU=\delta Q-\delta W\; com \delta Q=0 para conectar trabalho e variação de energia interna.
  • Para gás ideal e processo reversível use \;W=n c_V (T_1-T_2)\; ou \;W=(P_1V_1-P_2V_2)/(\gamma-1)\;.
  • Não esqueça da exceção: expansão livre (vácuo) é adiabática e não realiza trabalho; para gás ideal \Delta U=0 e \Delta T=0.
Você está indo bem; a ideia chave é sempre lembrar: adiabático ≠ sem trabalho. Adiabático significa sem troca de calor; o trabalho pode existir e, se existir, é pago com a energia interna do gás.

Resposta

Sim — se a expansão ocorre contra uma pressão externa não nula, o gás realiza trabalho.
A energia para esse trabalho vem da energia interna do gás; com \delta Q=0 vale \;dU=-\delta W\;, portanto W=U_1-U_2 (para gás ideal W=n c_V (T_1-T_2)).
Exceção: expansão livre em vácuo tem W=0; para gás ideal então \Delta U=0 e \Delta T=0.

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