Um gás em expansão adiabática realiza algum trabalho? Caso positivo, de onde vem essa energia para realizá-lo?
Passo 1
O que o enunciado pede: saber se um gás em expansão adiabática realiza trabalho e, caso positivo, explicar de onde vem a energia para esse trabalho.
Informações dadas (explicitadas):
- A expansão é adiabática, ou seja, não há troca de calor com o ambiente:
. - O enunciado não especificou se a expansão é reversível, irreversível, ou livre (em vácuo). Então preciso considerar os casos possíveis.
- Pergunta dupla: (1) o gás realiza trabalho? (2) se realiza, qual a origem da energia usada para o trabalho?
Passo 2
Primeira ferramenta: a Primeira Lei da Termodinâmica. Vou explicar com calma e sem pressa.
A Primeira Lei diz que a variação da energia interna
de um sistema é igual ao calor trocado com o meio menos o trabalho feito pelo sistema. Usando a convenção comum (calor positivo entra no sistema; trabalho positivo é trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente),
Aqui:
-
é a variação infinitesimal da energia interna, -
é o calor infinitesimal recebido pelo sistema, -
é o trabalho infinitesimal realizado pelo sistema.
Para um processo adiabático temos
. Logo, a lei fica simplesmente
Interpretação simples: todo trabalho feito pelo sistema deve reduzir sua energia interna (se não entra calor).
Passo 3
Conclusão geral imediata (sem ainda especificar detalhes do processo): se o gás se expande fazendo trabalho sobre o ambiente, então esse trabalho tem de vir da energia interna do gás — porque
não traz energia externa. Logo, sim, um gás em expansão adiabática pode realizar trabalho; a energia para o trabalho sai da sua energia interna, o que normalmente faz cair a temperatura do gás.
Vou explicar o que é “energia interna” e como isso aparece para um gás ideal: para um gás ideal monoatômico a energia interna depende só da temperatura segundo
onde:
-
é o número de mols, -
é o calor específico molar a volume constante, -
é a temperatura absoluta.
Assim, para um gás ideal em processo adiabático que faz trabalho, a redução de
corresponde a uma redução de
. Matematicamente, integrando a relação diferencial obtém-se
ou, usando
,
Essa é uma expressão prática: o trabalho realizado pelo gás é proporcional à queda de temperatura.
Passo 4
Caso reversível e gás ideal: resultado prático e derivação para usar na prova.
Num processo adiabático reversível para um gás ideal vale a relação
onde
é a razão dos calores específicos. Também vale a forma equivalente
Para computar o trabalho reversível fazemos
Como o processo é adiabático reversível,
pode ser escrito como
com
. Então
Rearranjando essa expressão (e lembrando
) obtém-se a forma muito usada:
Essa é uma fórmula pronta que você pode usar na prova quando tiver
em um processo adiabático reversível para um gás ideal.
Também se conecta com a fórmula
pela relação entre
,
e
:
, levando às mesmas expressões.
Passo 5
Caso irreversível com pressão externa constante: o cálculo do trabalho muda.
Se o gás expande contra uma pressão externa constante
(um processo irreversível típico), o trabalho realizado é simplesmente
Aqui o gás pode realizar menos trabalho do que no caso reversível (quando
é igual à pressão do gás ao longo do processo). A energia para esse trabalho continua vindo da energia interna, ou seja,
porque
.
Passo 6
Caso especial importante: expansão livre (Joule), ou expansão em vácuo.
Se o gás se expande livremente para um volume disponível no vácuo, a pressão externa é nula:
. Então
Nesse caso o processo é adiabático (
) e como
temos pela primeira lei
Para um gás ideal isso implica
(a temperatura não muda) — resultado clássico do experimento de Joule para gás ideal. Para gases reais, em expansão livre a energia interna pode mudar porque
pode depender também do volume (interações intermoleculares); aí pode haver variação de temperatura mesmo sem calor trocado e sem trabalho.
Passo 7
Resumo físico-intuitivo e dicas para prova
- Se durante a expansão há resistência (uma pressão externa não nula), o gás empurra o entorno e realiza trabalho — essa energia sai do próprio gás (energia interna) e geralmente aparece como queda de temperatura para gases ideais.
- Use sempre a Primeira Lei
com para conectar trabalho e variação de energia interna. - Para gás ideal e processo reversível use
ou . - Não esqueça da exceção: expansão livre (vácuo) é adiabática e não realiza trabalho; para gás ideal
e .
Você está indo bem; a ideia chave é sempre lembrar: adiabático ≠ sem trabalho. Adiabático significa sem troca de calor; o trabalho pode existir e, se existir, é pago com a energia interna do gás.
Resposta
Sim — se a expansão ocorre contra uma pressão externa não nula, o gás realiza trabalho.
A energia para esse trabalho vem da energia interna do gás; com vale
, portanto
(para gás ideal
).
Exceção: expansão livre em vácuo tem ; para gás ideal então
e
.
A energia para esse trabalho vem da energia interna do gás; com
Exceção: expansão livre em vácuo tem