Considere um material magnético submetido a um campo magnético externo, de tal forma que o campo vetorial magnetização resultante seja igual a M=x^2 y^3 z^4 ay A / m. Suponha, ainda, que o volume deste material magnético seja um cubo, de aresta igual a 2 m , com faces nos planos x=0, x=2 m, y=0, y=2 m, z=0 e z=2 m. Determine: a) o campo vetorial densidade superficial de corrente volumétrica de magnetização e b) o campo vetorial densidade linear de corrente superficial de magnetização.

Passo 1

O enunciado dá a magnetização
M = x^2 y^3 z^4 , ay l(A/mr)
em um cubo de aresta 2~m com 0 <= x,y,z <= 2. Pede-se (a) a densidade volumétrica de corrente de magnetização Jb e (b) a densidade superficial de corrente de magnetização Kb. Usaremos as fórmulas
Jb = nabla times M, Kb = M times n,
onde n é o vetor normal externo em cada face do cubo.

Passo 2

Calcular o rotacional de vec M. Como vec M=(0,My,0) com My=x^2y^3z^4, temos
nablatimesvec M = hat ax&hat ay&hat az partial/partial x&partial/partial y&partial/partial z 0&My&0

Passo 3

Executando o determinante:
(nablatimesvec M)x =0-partial Mypartial z =-4,x^2y^3z^3,
(nablatimesvec M)y =0-0 =0,
(nablatimesvec M)z =partial Mypartial x-0 =2,x,y^3z^4
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boxedvec Jb =-4,x^2y^3z^3,hat ax +2,x,y^3z^4,hat az l(A/m^2r)

Passo 4

Agora a densidade superficial de corrente de magnetização em cada face:
vec Kb=vec Mtimeshat n,
com hat n externo ao cubo. Em faces onde vec M é nulo (por x=0,y=0 ou z=0), teremos vec Kb=0.

Passo 5

Não nulos só em x=2 (onde hat n=hat ax) e em z=2 (onde hat n=hat az):
  • Em x=2:
    vec M=(0,2^2y^3z^4,0)=(0,4y^3z^4,0),
    hat n=hat ax Rightarrow
    vec Kb =(0,4y^3z^4,0)times(1,0,0) =-4,y^3z^4,hat az
  • Em z=2:
    vec M=(0,x^2y^32^4,0)=(0,16x^2y^3,0),
    hat n=hat az Rightarrow
    vec Kb =(0,16x^2y^3,0)times(0,0,1) =16,x^2y^3,hat ax
Nas demais faces vec Kb=0.

Resposta

(a)
vec Jb =-4,x^2y^3z^3,hat ax +2,x,y^3z^4,hat az (A/m^2)
(b)
vec Kb= -4,y^3z^4,hat az,&x=2, 16,x^2y^3,hat ax,&z=2, 0,&nas outras faces (A/m)

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