Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=sen(raiz[2]x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=senl(raizx^2+1r)
Aqui vamos usar a regra da cadeia, além das derivadas de sen(u) e de raizv.

Passo 2

Definimos as funções aninhadas em três níveis:
v(x)=x^2+1, u(v)=raizv e f(u)=sen(u).
Assim,
f(x)=senl(u(v(x))r)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada nível e aplicamos a regra da cadeia.
A derivada de sen(u) em relação a u é cos(u),
a derivada de raizv em relação a v é tfrac12raizv e
a derivada de v(x)=x^2+1 em relação a x é 2x.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = cosl(ur);12raizv;l(2xr)

Passo 4

Substituindo u=raizx^2+1 e v=x^2+1 e simplificando, temos
f'(x) = cos!l(raizx^2+1r);2x2raizx^2+1 = xraizx^2+1;cos!l(raizx^2+1r)

Resposta

f'(x)=xraizx^2+1;cos!l(raizx^2+1r)

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