Se f(x, y, z)=raiz1+y z+raiz1-x y. Determine partial^2 fpartial x partial y partial z

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=raiz1+yz+raiz1-xy
e pede a derivada mista de terceira ordem
partial^3 fpartial x,partial y,partial z
Como as derivadas parciais de funções suaves comutam, podemos derivar em qualquer ordem. Vamos escolher a ordem zto yto x.

Passo 2

Calculamos primeiro
fz=partialpartial zraiz1+yz =12(1+yz)^-tfrac12cdot y =y2raiz1+yz,
já que raiz1-xy não depende de z.

Passo 3

Agora derivamos fz em relação a y:
fzy =partialpartial yl(y2(1+yz)^-tfrac12r) =12l[(1+yz)^-tfrac12 + ycdotl(-tfrac12r)(1+yz)^-tfrac32cdot zr] =12raiz1+yz-yz4(1+yz)^3/2

Passo 4

Por fim, derivamos fzy em relação a x. Como fzy não depende de x,
fzyx=partialpartial xl(fzyr)=0

Resposta

partial^3 fpartial x,partial y,partial z=0

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