e pede para verificar a diferenciabilidade de f. Como f é razão de polinômios com denominador não nulo para (x,y)neq(0,0), ela é diferenciável fora de (0,0). O ponto de interesse é (0,0), onde vamos usar a definição de diferenciabilidade: f é diferenciável em (0,0) se existem constantes A,B tais que, ao definir
L(h,k)=Ah+Bk,
ficar
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-0h =limhto00h=0,
pois f(h,0)=tfrach^3cdot0h^4+0=0. De modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k =limkto00k=0,
pois f(0,k)=tfrac0cdot k0+k^2=0. Logo o candidato a diferencial linear é
L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0
Passo 3
Para verificar a condição de diferenciabilidade, devemos testar