Verifique se a função é diferenciável.
c x^3 yx^4+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3yx^4+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para verificar a diferenciabilidade de f. Como f é razão de polinômios com denominador não nulo para (x,y)neq(0,0), ela é diferenciável fora de (0,0). O ponto de interesse é (0,0), onde vamos usar a definição de diferenciabilidade: f é diferenciável em (0,0) se existem constantes A,B tais que, ao definir
L(h,k)=Ah+Bk,
ficar
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-0h =limhto00h=0,
pois f(h,0)=tfrach^3cdot0h^4+0=0. De modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k =limkto00k=0,
pois f(0,k)=tfrac0cdot k0+k^2=0. Logo o candidato a diferencial linear é
L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0

Passo 3

Para verificar a condição de diferenciabilidade, devemos testar
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-0-0raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0)f(h,k)raizh^2+k^2
Se esse limite for zero, f é diferenciável; caso contrário, não é.

Passo 4

Escolhemos a curva k=h^2. Então (h,k)to(0,0) quando hto0 e
fl(h,h^2r) =h^3cdot h^2h^4+(h^2)^2 =h^52h^4 =h2
Por outro lado,
raizh^2+k^2 =raizh^2+h^4 =|h|raiz1+h^2
Assim
f(h,h^2)raizh^2+h^4 =tfrach2|h|raiz1+h^2 =sgn(h)2raiz1+h^2 longrightarrow 12(quando (hto0^+)),
um valor não nulo. Portanto
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)raizh^2+k^2neq0,
e a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0) (embora seja diferenciável em todos os demais pontos).

Exercícios relacionados