Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 300 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede a matriz da composição R T. Informações importantes fornecidas:
  • R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 300^\circ.
  • T é a projeção sobre o eixo y (ou seja, manda (x,y) em (0,y)).
  • Queremos a matriz da transformação linear R\circ T (escrita como R T), e comparar com as alternativas (A)–(H).

Passo 2

Entender a matriz de T (projeção sobre o eixo y). Lembre que a coluna j da matriz de uma transformação linear é a imagem do j-ésimo vetor da base canônica.
  • T(1,0) = (0,0) → primeira coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • T(0,1) = (0,1) → segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
    Portanto a matriz de T na base canônica é
T=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
(Explicação didática: projeção no eixo y zera a coordenada x e mantém y.)]

Passo 3

Encontrar a matriz de R (rotação por 300^\circ no sentido anti-horário). A fórmula geral da matriz de rotação por um ângulo \theta é
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
onde \cos\theta e \sin\theta são os cosseno e seno do ângulo. Para \theta=300^\circ temos:
  • \cos 300^\circ=\cos(360^\circ-60^\circ)=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}.
  • \sin 300^\circ=\sin(360^\circ-60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
    Substituindo na fórmula:
R=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
(Observação: o termo -\sin\theta na posição (1,2) torna-se +\tfrac{\sqrt{3}}{2} porque \sin 300^\circ é negativo.)]

Passo 4

Calcular R T. Podemos multiplicar matrizes, mas é mais direto usar o fato de que as colunas de R T são R aplicadas às colunas de T.
  • Primeira coluna de T é \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}. Então primeira coluna de R T é R\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de T é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. Então segunda coluna de R T é R\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, que é exatamente a segunda coluna de R, isto é \begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Assim
R T=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
(Se preferir verificar com multiplicação padrão: R T = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.)]

Passo 5

Comparar com as alternativas dadas. A matriz obtida
\begin{pmatrix}0 & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
corresponde exatamente à alternativa (A).]

Resposta

(A)

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