Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-1,-2,0),(1,0,2)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}. Se a_{23}=4, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{11} :
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
(F) 12
(G) 13
(H) 14

Passo 1

O exercício dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dados: Núcleo A=\operatorname{span}\{(-1,-2,0),(1,0,2)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}.
  • Informação adicional: a_{23}=4 (ou seja, a entrada da segunda linha e terceira coluna da matriz A vale 4).
  • Pedido: encontrar a matriz A_{3\times3} compatível com essas informações e, especificamente, assinalar o valor da entrada a_{11}.

Passo 2

Interpretação útil (sem resolver ainda): como a Imagem de A tem dimensão 1 (é gerada por um único vetor), todas as colunas de A têm de ser múltiplos do vetor gerador da imagem. Então podemos escrever A como um produto externo entre o vetor da imagem e um vetor linha, isto é:
A = v\,w^{T},
onde v é o gerador da imagem e w\in\mathbb{R}^{3} é algum vetor coluna. Aqui, pegamos explicitamente
v = (1,-1,1)^{T}.
Explicação didática: a coluna j de A é A e_j = w_j v, ou seja, cada coluna é w_j vezes v. Isso garante que a coluna seja um múltiplo de v, portanto esteja na imagem.

Passo 3

Relação entre núcleo e w: o núcleo de A é o conjunto de x tais que A x = 0. Com A = v w^{T} temos
A x = v (w^{T} x).
Como v\neq 0, isso é zero exatamente quando w^{T} x = 0. Portanto
\ker(A)=\{x\in\mathbb{R}^{3}\mid w^{T}x=0\},
ou seja, o núcleo é o subespaço ortogonal a w. Conclusão prática: w deve ser ortogonal a cada gerador do núcleo dado.

Passo 4

Encontrar w como vetor ortogonal às duas geradoras do núcleo. Escreva w=(w_{1},w_{2},w_{3})^{T}. As ortogonalidades dão:
w^{T}(-1,-2,0)=0 \quad\Rightarrow\quad -w_{1}-2w_{2}=0,
w^{T}(1,0,2)=0 \quad\Rightarrow\quad w_{1}+2w_{3}=0.
Resolva: da primeira equação w_{1}=-2w_{2}. Substituindo na segunda:
-2w_{2}+2w_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad w_{3}=w_{2}.
Portanto um gerador para w é
w = (-2,1,1)^{T},
isto é, w é determinado a menos de um fator escalar (qualquer múltiplo não muda o núcleo).

Passo 5

Incluir a liberdade de escala: como tanto v quanto w podem ser escalados (multiplicar w por \lambda equivale a multiplicar toda a matriz por \lambda), a forma geral compatível com imagem e núcleo é
A = k\, v\, w^{T},
para algum escalar k\in\mathbb{R}. Em componentes isso significa
a_{ij} = k\, v_{i}\, w_{j}.
Agora usamos a condição numérica dada a_{23}=4 para determinar k.

Passo 6

Calcular a_{23} em função de k. Temos v_{2}=-1 e, para o w escolhido, w_{3}=1. Então
a_{23} = k\, v_{2}\, w_{3} = k \cdot (-1)\cdot 1 = -k.
A condição do enunciado é a_{23}=4, logo
-k = 4 \quad\Rightarrow\quad k = -4.

Passo 7

Agora construa a matriz A com k=-4, v=(1,-1,1)^{T} e w=(-2,1,1)^{T}. Primeiro o produto externo sem o fator k:
v\,w^{T} = \begin{pmatrix} 1\\\\ -1\\\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & -1\\[4pt] -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando por k=-4:
A = -4\,v\,w^{T} = \begin{pmatrix} 8 & -4 & -4\\[4pt] -8 & 4 & 4\\[4pt] 8 & -4 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificações rápidas (para ganhar confiança): cada coluna de A é múltipla de v, por exemplo primeira coluna (8,-8,8)=8(1,-1,1). O vetor ortogonal ao núcleo (o vetor de coeficientes das colunas) é (8,-4,-4), que é múltiplo de (-2,1,1), logo o núcleo é exatamente o span dos dois vetores dados. A entrada a_{23} (segunda linha, terceira coluna) vale 4, que coincide com a condição do enunciado.

Resposta

(B) 8

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